Die Spektralnorm ist in der Mathematik die von der euklidischen Norm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Spektralnorm einer Matrix entspricht ihrem maximalen Singulärwert, also der Wurzel des größten Eigenwerts des Produkts der adjungierten (transponierten) Matrix mit dieser Matrix. Sie ist submultiplikativ, mit der euklidischen Vektornorm verträglich und invariant unter unitären (orthogonalen) Transformationen. Die Spektralnorm der Inversen einer regulären Matrix ist der Kehrwert des kleinsten Singulärwerts der Ausgangsmatrix. Ist eine Matrix hermitesch (symmetrisch), dann ist ihre Spektralnorm gleich ihrem Spektralradius. Ist eine Matrix unitär (orthogonal), dann ist ihre Spektralnorm gleich Eins.

Illustration der Spektralnorm

Aufgrund ihrer aufwendigen Berechenbarkeit wird die Spektralnorm in der Praxis oft durch leichter zu berechnende Matrixnormen abgeschätzt. Sie wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.

Definition

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Die Spektralnorm   einer Matrix   mit   als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der euklidischen Vektornorm abgeleitete natürliche Matrixnorm

 .

Anschaulich entspricht die Spektralnorm damit dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor der Länge Eins entsteht. Eine äquivalente Definition der Spektralnorm ist der Radius der kleinsten Sphäre, die den Einheitskreis nach Transformation durch die Matrix umfasst.

Darstellung als maximaler Singulärwert

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Für die Spektralnorm gilt nach Definition der euklidischen Norm und mit dem Standardskalarprodukt   auf Vektoren

 ,

wobei   die adjungierte (im reellen Fall transponierte) Matrix zu   ist. Die Matrix   ist eine positiv semidefinite hermitesche (im reellen Fall symmetrische) Matrix.[1] Daher gibt es nach dem Spektralsatz eine unitäre (im reellen Fall orthogonale) Matrix  , bestehend aus den Eigenvektoren der Matrix, sodass   gilt, wobei   eine Diagonalmatrix mit den stets reellen und nichtnegativen Eigenwerten   von   ist. Mit der Substitution   und der unitären Invarianz der euklidischen Vektornorm gilt dann

 ,

wobei   der größte dieser Eigenwerte ist, da das Maximum gerade dann angenommen wird, wenn   gleich dem Einheitsvektor zu dem maximalen Eigenwert ist. Die Spektralnorm einer Matrix   ist damit

 ,

also die Wurzel des größten Eigenwerts von  . Der betragsgrößte Eigenwert einer Matrix wird auch Spektralradius genannt, und die Wurzeln der Eigenwerte von   werden auch als Singulärwerte von   bezeichnet. Die Spektralnorm einer Matrix entspricht also gerade ihrem maximalen Singulärwert.

Beispiele

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Reelle Matrix

Die Spektralnorm der reellen (2 × 2)-Matrix

 

wird ermittelt, indem zunächst das Matrixprodukt   berechnet wird:

 .

Die Eigenwerte von   ergeben sich dann als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

 

als

 .

Die Spektralnorm von   ist damit die Wurzel des größeren dieser Eigenwerte, also

 .

Komplexe Matrix

Um die Spektralnorm der komplexen (2 × 2)-Matrix

 

zu berechnen, wird wie im reellen Fall vorgegangen. Es wird die Matrix   ermittelt,

 ,

deren Eigenwerte sich dann über die Nullstellen von

 

als

 .

ergeben. Die Spektralnorm von   ist damit

 .

Eigenschaften

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Normeigenschaften

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Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität folgen für die Spektralnorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Spektralnorm damit auch submultiplikativ und mit der euklidischen Norm verträglich, das heißt, es gilt

 

für alle Matrizen   und alle Vektoren  , und die Spektralnorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

Selbstadjungiertheit

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Die Spektralnorm ist selbstadjungiert, das heißt für die adjungierte Matrix   einer quadratischen Matrix   gilt

 ,

da die Matrix   und die Matrix   die gleichen Eigenwerte[2] besitzen. Die gleiche Identität erfüllt auch eine transponierte Matrix   unabhängig davon, ob die Matrix reell oder komplex ist. Die Spektralnorm ist damit invariant unter Adjungierung oder Transposition der Matrix.

Unitäre Invarianz

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Die Spektralnorm ist invariant unter unitären Transformationen (im reellen Fall orthogonalen Transformationen), das heißt

 

für alle unitären (beziehungsweise orthogonalen) Matrizen   und  , denn es gilt mit der unitären Invarianz der euklidischen Norm

 .

Durch die unitäre Invarianz ändert sich die Kondition einer Matrix bezüglich der Spektralnorm nach einer Multiplikation mit einer unitären Matrix von links oder rechts nicht.

Spezialfälle

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Inverse einer regulären Matrix

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Ist die Matrix   regulär, dann ist die Spektralnorm ihrer inversen Matrix aufgrund der Symmetrie gegeben als

 ,

da die Inverse einer Matrix gerade ihre reziproken Eigenwerte besitzt. Die Spektralnorm der Inversen einer Matrix ist also der Kehrwert des kleinsten Singulärwerts der Ausgangsmatrix. Für die spektrale Kondition einer regulären Matrix gilt damit

 ,

sie ist also das Verhältnis aus größtem und kleinstem Singulärwert.

Hermitesche Matrizen

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Ist die Matrix   selbst hermitesch (beziehungsweise symmetrisch), dann ist  , und es gibt eine unitäre Matrix  , bestehend aus den Eigenvektoren von  , sodass

 

gilt, wobei   die stets reellen Eigenwerte von   sind und   der betragsgrößte dieser Eigenwerte ist. Die Spektralnorm einer hermiteschen oder symmetrischen Matrix ist also

 

und entspricht damit dem Spektralradius der Matrix. Ist die Matrix weiter positiv semidefinit, dann können die Betragsstriche weggelassen werden, und ihre Spektralnorm ist gleich ihrem größten Eigenwert.

Unitäre Matrizen

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Ist die Matrix   unitär, dann gilt

 .

Die Spektralnorm einer unitären oder orthogonalen Matrix ist also gleich Eins.

Rang-Eins-Matrizen

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Besitzt die Matrix   den Rang null oder eins, das heißt   mit   und  , dann gilt

 ,

da die Matrix

 

ebenfalls den Rang null oder eins aufweist, wobei in letzterem Fall   der einzige Eigenwert ungleich null ist.

Abschätzungen

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Da die Spektralnorm insbesondere für große Matrizen aufwendig zu berechnen ist, wird sie in der Praxis oft durch andere, leichter zu berechnende, Matrixnormen abgeschätzt. Die wichtigsten dieser Abschätzungen sind

 

als das geometrische Mittel aus der Spaltensummennorm   und der Zeilensummennorm   und

 ,

wobei   die Frobeniusnorm ist.

Anmerkungen

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  1. positiv semidefinit da   und hermitesch da  
  2. Die Matrix   ist invertierbar und es gilt  . Somit sind   und   ähnlich, weshalb insbesondere   und   das gleiche charakteristische Polynom haben und deshalb die gleichen Eigenwerte besitzen.

Literatur

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