Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.

Definition

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Es sei   eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte   bezeichne   ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion   wird durch meromorphe Fortsetzung der für   durch

 

gegebenen Funktion definiert.

Nullstellen

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Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen  , die die Gleichung

 

für einen der Eigenwerte

 

des Laplace-Operators auf   erfüllen.

Mayerscher Transfer-Operator

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Für   hat man die Identität

 .

Dabei bezeichnet   den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum   der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt   und Radius   holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

 .

Literatur

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  • U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. Vol. 83 of Mathematical Research (Akademie-Verlag, 1995).
  • d'Hoker, E. und Phong, D. H.: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. Nucl. Phys. B 269, 205–234, 1986.
  • d'Hoker, E. und Phong, D. H.: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. Commun. Math. Phys. 104, 537–545, 1986.
  • Fried, D.: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. Invent. Math. 84, 523–540, 1986.
  • Selberg, A.: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. J. Indian Math. Soc. 20, 47–87, 1956.
  • Voros, A.: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. Commun. Math. Phys. 110, 439–465, 1987.
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