Der Satz von Stinespring, benannt nach W. Forrest Stinespring, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis aus dem Jahre 1955.[1] Er besagt, dass vollständig positive Operatoren auf C*-Algebren im Wesentlichen Kompressionen von Hilbertraum-Darstellungen sind.

Formulierungen

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Es sei   eine C*-Algebra mit Einselement und   ein vollständig positiver Operator in die Algebra der stetigen, linearen Operatoren über einem Hilbertraum  . Dann gibt es einen Hilbertraum  , eine Hilbertraum-Darstellung   und einen stetigen, linearen Operator  , so dass

  für alle  

Insbesondere ist  .[2]

Gilt sogar  , so kann man zusätzlich annehmen, dass   und die Konstruktion so einrichten, dass

  für alle  

gilt, wobei   die Orthogonalprojektion auf   sei und   für die Beschränkung auf den Unterraum   stehe.[3]

Hat die C*-Algebra   kein Einselement, so kann man eines adjungieren und   mit der Definition   zu einem vollständig positiven Operator fortsetzen[4] und darauf obigen Satz anwenden. Allerdings vergrößert sich dabei möglicherweise die Norm von  .

Der Satz von Naimark

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Der Satz von Naimark aus dem Jahre 1943, benannt nach Mark Naimark, ist ein wichtiger Vorläufer des Satzes von Stinespring, er behandelt den Fall kommutativer C*-Algebren:

Es sei   eine kommutative C*-Algebra mit Einselement und   ein positiver Operator in die Algebra der stetigen, linearen Operatoren über einem Hilbertraum  . Dann gibt es einen Hilbertraum  , eine Hilbertraum-Darstellung   und einen stetigen, linearen Operator  , so dass

  für alle  

gilt, wobei   die Orthogonalprojektion auf   sei und   für die Beschränkung auf den Unterraum   stehe.[5]

Dieser Satz ergibt sich leicht aus obiger zweiter Version des Satzes von Stinespring und der Tatsache, dass positive Operatoren auf kommutativen C*-Algebren automatisch vollständig positiv sind.[6]

Der Satz von Kasparow-Stinespring

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Die folgende Version des Satzes von Stinespring geht auf G. G. Kasparow zurück.[7]

Es seien   eine separable und   eine σ-unitale C*-Algebra.   sei ein vollständig positiver Operator mit Norm   in die stabile Multiplikatorenalgebra über  . Dann gibt es einen *-Homomorphismus   in die Algebra der  -Matrizen über  , so dass:

  für alle  .

In diesem Fall kann man die Konstruktion also derart einrichten, dass die Kompression des *-Homomorphismus die obere, linke Ecke einer  -Matrix ist.

Einzelnachweise

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  1. W. Stinespring: Positive functions on C*-algebras, Proceedings Amer. Math. Soc. (1955), Band 6, Seiten 211–216
  2. N. P. Brown, N. Ozawa: C*-Algebras and Finite-Dimensional Approximations, American Mathematical Soc. (2008), Band 88, ISBN 0-8218-7250-8, Theorem 1.5.3
  3. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Theorem IX.4.3
  4. N. P. Brown, N. Ozawa: C*-Algebras and Finite-Dimensional Approximations, American Mathematical Soc. (2008), Band 88, ISBN 0-8218-7250-8, Satz 2.2.1
  5. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Theorem IX.4.2
  6. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Satz IX.4.1
  7. G. G. Kasparow: Hilbert-C*-modules: theorems of Stinespring and Voiculescu, Journal Operator Theory (1980), Band 4, Seiten 133–150