Der Satz von Pólya ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, genauer der Theorie stochastischer Prozesse. Er beschäftigt sich mit der Frage, wie sich die Rückkehrwahrscheinlichkeit einer symmetrischen Irrfahrt zum Startpunkt verändert, wenn sich die Dimension des Raumes vergrößert, in dem die Irrfahrt stattfindet.

Der Satz von Pólya gehört zu den klassischen Ergebnissen in der Theorie der Irrfahrten und wurde 1921 von George Pólya gezeigt.[1]

Vorbereitung

Bearbeiten
Einige Rückkehrwahrscheinlichkeiten
Dimension   Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start[2]
1 1
2 1
3 0.340537
4 0.193206
5 0.135178
6 0.104715
7 0.0858449
8 0.0729126

Der Satz von Pólya beschäftigt sich mit der symmetrischen einfachen Irrfahrt   in   für Dimensionen  . Eine solche Irrfahrt ist eine Markow-Kette und durch die Übergangswahrscheinlichkeiten

 

definiert, wobei   sind. Beachte, dass in jeder der   Dimensionen ein Schritt vor oder zurückgegangen werden kann, was insgesamt zu   Möglichkeiten führt, und jede dieser Möglichkeiten ist definitionsgemäß gleich wahrscheinlich. Für   handelt es sich um die symmetrische einfache Irrfahrt.

Des Weiteren sei

 

die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start für einen vorgegebenen Startpunkt  . Tatsächlich sind die Rückkehrwahrscheinlichkeiten für alle Punkte immer gleich.

Der Satz von Pólya lautet nun:

  • Für   und   ist   rekurrent, es ist also   für alle  . Die symmetrische einfache Irrfahrt kehrt also fast sicher zu ihrem Startpunkt zurück und tut dies damit auch unendlich oft.
  • Für   ist   transient, es ist also   für alle  . Somit kehrt die symmetrische einfache Irrfahrt fast sicher nur endlich oft zu ihrem Startpunkt zurück.

Der Mathematiker Shizuo Kakutani paraphrasierte (mit Anspielung auf den Drunkard’s Walk) die Aussage des Satzes wie folgt:

„A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever“

„Ein betrunkener Mann wird seinen Weg nach Hause finden, aber ein betrunkener Vogel kann sich für immer verirren.“

Shizuo Kakutani: Zit. nach Durrett, Rick (2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. S. 191
Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 176.
  2. Eric W. Weisstein: Pólya's Random Walk Constants. In: MathWorld (englisch).