Satz von Liouville (Differentialgeometrie)

mathematischer Satz

Der Satz von Liouville ist ein Resultat aus der klassischen Differentialgeometrie. Benannt wurde dieser nach dem Mathematiker Joseph Liouville. Das Resultat liefert eine Formel zur Berechnung der geodätischen Krümmung von Flächenkurven. Manchmal wird dieses Resultat auch Formel von Liouville genannt.

Sei   eine orientierte differenzierbare Fläche und sei   eine Umgebung von   mit einer orthogonalen Parameterdarstellung  . Sei außerdem   eine nach der Bogenlänge parametrisierte Darstellung einer regulären Kurve und mit   werde der Winkel zwischen   und   bezeichnet. Dann gilt

 

Dabei bezeichnen   und   die geodätischen Krümmungen bezüglich der Koordinatenlinien. Das heißt, bei   ist die Krümmung von  , wobei   konstant gewählt wird und die Kurve somit nur noch von   abhängt. Das Analoge ist bei   gemeint.

Literatur

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  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.