Der Satz von Denjoy ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher auf den französischen Mathematiker Arnaud Denjoy zurückgeht. Er behandelt eine grundlegende Zusammenhangseigenschaft der Topologie der reellen Zahlen. Denjoy veröffentlichte ihn 1915.[1]

Formulierung

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Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[2]

Gegeben seien in       drei kompakte Intervalle       .
Dabei sei vorausgesetzt, dass
 
gelte, dass also die drei Intervalle mindestens einen gemeinsamen inneren Punkt besitzen.
Dann gilt:
Es gibt unter den drei Intervallen mindestens eines, welches so von den beiden anderen Intervallen überdeckt wird, dass jeder einzelne seiner inneren Punkte zugleich innerer Punkt eines der beiden anderen Intervalle ist.
In Formeln:
   

Die kompakten Intervalle sind von der Form   für  . Ihr Inneres ist jeweils  .

Sei   so dass   und sei   so dass  . Dann gilt   für  .

Fall 1:  . Dann gilt   und   für  .

Fall 2:  . Nach Voraussetzung gibt es einen gemeinsamen Punkt   im Inneren der drei Intervalle, für den also insbesondere   und  , mithin   gilt. Daraus folgt

 

für  . Für einen inneren Punkt   hat man   und entweder   oder  . Im Fall   folgt   und mithin  , im Fall   folgt   und mithin  .

Literatur

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  • Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie matematyczne. Band 34). 2. Auflage. PWN – Polish Scientific Publishers, Warschau 1965 (MR0194339).
  • Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991).
  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Denjoy: Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions continues. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Serie 7, Band 1, 1915, S. 105–240, mathdoc.fr, hier S. 223
  2. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie matematyczne. Band 34). 2. Auflage. PWN – Polish Scientific Publishers, Warschau 1965, S. 41 (MR0194339).