Der Satz von Carnot (nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot) liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, ob sich drei Geraden, die auf den drei (verlängerten) Seiten eines Dreiecks senkrecht stehen, in einem Punkt schneiden. Darüber hinaus lässt er sich auch als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auffassen.

Satz von Carnot für Lote auf Dreiecksseiten:
blaue Fläche = rote Fläche

Zu einem Dreieck   mit Seiten   seien drei Geraden gegeben, die je auf einer (verlängerten) Dreiecksseite senkrecht stehen und die sich in einem gemeinsamen Punkt   schneiden. Bezeichnet man die Fußpunkte auf den (verlängerten) Dreieckseiten   mit  , dann gilt die folgende Gleichung:

 .

Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes, das heißt: Erfüllen die Fußpunkte dreier Senkrechten die obige Gleichung, so schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt.

Spezialfälle

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Besitzt das Dreieck   einen rechten Winkel in   und liegt der Schnittpunkt   auf einem der beiden Eckpunkte   oder  , so erhält man den Satz des Pythagoras. Liegt zum Beispiel   auf  , dann gilt  ,  ,  ,  ,   und   und die obige Gleichung liefert  .

Sind die drei Geraden die Mittelsenkrechten, so gilt  ,   und  . Daher besteht obige Gleichung und wir erhalten als Spezialfall den Satz, dass sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Sind die drei Geraden die Verlängerungen der Dreieckshöhen, so laufen die Geraden durch die Eckpunkte. Die Höhe   teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras die Gleichungen   und   liefert, und durch Differenzbildung folgt  . Genauso bzw. durch gedankliche Drehung des Dreiecks folgen die Beziehungen   und  . Addiert man diese drei Beziehungen, so erhält man

 ,

das heißt, es besteht die Gleichung aus obigem Satz. Man erhält also auch den Satz vom Höhenschnittpunkt als Spezialfall des Satzes von Carnot.

Literatur

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  • Martin Wohlgemuth (Hrsg.): Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger. Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Springer, 2010, ISBN, 9783827426079, S. 273–276.
  • Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry. Dover, New York: Dover, 1966, S. 85–86
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