Satz von Beltrami-Enneper

mathematischer Satz

Der Satz von Beltrami-Enneper (nach Eugenio Beltrami[1] und Alfred Enneper[2]) ist ein Resultat aus der Differentialgeometrie der Flächen.

Das Quadrat der Torsion einer Asymptotenlinie ist gleich der negativen gaußschen Krümmung der Fläche, in der sich die Kurve bewegt, sofern die Krümmung der Kurve selbst nicht verschwindet.[3][4] Eine Kurve auf einer Fläche heißt Asymptotenlinie, wenn die zweite Fundamentalform der Fläche entlang der Kurve verschwindet. Insbesondere ist die gaußsche Krümmung in jedem Punkt einer Asymptotenlinie nichtpositiv.

Anwendungsbeispiel

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Aus dem Satz von Beltrami-Enneper folgt[5]: Ist   eine reguläre Fläche, die eine Gerade   enthält (dabei   Parametrisierung nach der Bogenlänge), und   ein an   tangentiales, auf   orthogonales Einheitsvektorfeld entlang  , dann ist die Krümmung von   in   gleich

 
 
Einschaliges Hyperboloid

Sei   das einschalige Hyperboloid und

 

Dann ist

 

und damit

 

Einzelnachweise

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  1. Eugenio Beltrami: Dimostrazione di due formole del Sig. Bonnet. In: Giornale di Matematiche. 4, 1866, ZDB-ID 281094-3, S. 123–127 (Auch in: Eugenio Beltrami: Opere matematiche. Band 1. Hoepli, Mailand 1902, S. 297–301), Online.
  2. Alfred Enneper: Über asymptotische Linien. In: Nachrichten von der Georg-Augusts-Universität und der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 12, 1870, ZDB-ID 502554-0, S. 493–510, (Resultat ist formuliert auf S. 499), Online
  3. W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie (= Vorlesungen über Differentialgeometrie. 1 = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 1). 5. vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3, § 56, S. 133f.
  4. Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 5. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9, Satz 3.19, S. 57.
  5. Victor Andreevich Toponogov: Differential geometry of curves and surfaces. A concise guide. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-4384-2, Theorem 2.7.6.