In der Mathematik ist der Satz von Baer-Epstein ein grundlegender Satz in der Topologie von Flächen. Er besagt, dass homotope Kurven auf Flächen sogar isotop sind, und dass homotope Homöomorphismen von Flächen stets isotop sind. Er ist nach Reinhold Baer und David Epstein benannt.

Kurven auf Flächen

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Zwei einfache geschlossene Kurven auf dem Torus.

Eine einfache geschlossene Kurve auf einer Fläche   ist eine Einbettung  . Zwei Kurven

 

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung

 

mit   gibt. Zwei einfache geschlossene Kurven   heißen isotop, wenn es eine Homotopie gibt, bei der für alle   die Kurve

 

eine einfache geschlossene Kurve (also eine Einbettung) ist.

Baer bewies 1928, dass auf einer geschlossenen, orientierbaren Fläche zwei homotope einfache geschlossene Kurven auch isotop sein müssen. Dieser Satz wurde von Epstein 1966 auf nichtkompakte Flächen mit nichtleerem Rand verallgemeinert, die allgemeinstmögliche Formulierung ist die folgende.

Satz: Sei   eine beliebige Fläche, seien

 

zwei basispunkterhaltende homotope Einbettungen, wobei   weder eine eingebettete Kreisscheibe noch ein eingebettetes Möbiusband in   berande. Dann gibt es eine basispunkterhaltende Isotopie mit kompaktem Träger zwischen   und  .

 
Geschlossene Fläche vom Geschlecht 2.

Homöomorphismen von Flächen

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Ein Homöomorphismus ist eine stetige Bijektion mit stetiger Umkehrabbildung. Zwei Abbildungen

 

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung

 

mit   gibt.

Zwei Homöomorphismen   heißen isotop, wenn es eine Homotopie gibt, bei der für alle   die Abbildung

 

ein Homöomorphismus ist.

Baer und Epstein benutzten ihre Resultate über Kurven auf Flächen, um die folgende Äquivalenz von Homotopie und Isotopie für Homöomorphismen von Flächen zu beweisen.

Satz: Sei   eine Fläche mit kompaktem Rand, seien

 

zwei homotope Homöomorphismen. (Falls   die offene oder abgeschlossene Kreisscheibe oder der offene oder abgeschlossene Kreisring ist, setze zusätzlich voraus, dass   und   entweder beide orientierungserhaltend oder beide nicht orientierungserhaltend sind.) Dann sind   und   isotop.

Literatur

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