In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher bezeichnet ein Reinhardt-Gebiet (auch Reinhardt'sches Gebiet oder Reinhardt'scher Körper genannt, benannt nach Karl Reinhardt) ein Gebiet in , welches als Vereinigung komplexer -Tori aufgefasst werden kann.

Definition

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Sei   offen und zusammenhängend.   heißt Reinhardt-Gebiet, falls für jedes   und für alle   auch   liegt.

Ein Reinhardt-Gebiet   heißt vollkommen, wenn mit   auch der Polyzylinder   in   enthalten ist.

Graphische Darstellung

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Ein Reinhardt-Gebiet   hat eine eindeutige Entsprechung in  , wobei jeder Punkt in   auf die Absolutbeträge seiner Koordinaten   abgebildet wird. Umgekehrt entspricht dann jeder Punkt in   einem komplexen  -Torus. Dadurch können auch Reinhardt-Gebiet in den höherdimensionalen Räumen   bzw.   noch graphisch im   bzw.   dargestellt werden.

Beispiele

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  • komplex  -dimensionaler Polyzylinder   mit Radien  
  • komplex  -dimensionaler Ball   um   mit Radius  .

Bedeutung in der Funktionentheorie

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Die Bedeutung der Reinhardt-Gebiete liegt darin, dass sie die richtigen Gebiete sind, um Potenz- bzw. Laurent-Reihen zu betrachten. Das Konvergenzgebiet einer Potenzreihe ist ein vollkommenes Reinhardt'sches Gebiet. Allerdings ist nicht jedes vollkommene Reinhardt'sche Gebiet auch Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.

Reinhardt'sche Gebiete spielen auch eine Rolle bei der Fortsetzung holomorpher Funktionen. Grundlegend ist dabei der folgende Satz:

Sei   ein Reinhardt-Gebiet, und   eine holomorphe Funktion. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe  , welche auf kompakten Teilmengen von   absolut und gleichmäßig gegen die Funktion   konvergiert.

Gilt zudem, dass für jedes   ein Punkt   existiert, dessen  -te Koordinate 0 ist, dann ist die Laurent-Reihe sogar eine Potenzreihe und die holomorphe Funktion kann auf dem Konvergenzgebiet dieser Reihe eindeutig fortgesetzt werden.

Literatur

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