In der Mathematik sind reelle Darstellungen ein Begriff der Darstellungstheorie mit zahlreichen Anwendungen in Physik und Mathematik. Er bezeichnet Darstellungen auf einem komplexen Vektorraum, die durch Tensorieren mit den komplexen Zahlen aus einer Darstellung auf einem reellen Vektorraum entstanden sind.

Reelle Darstellungen

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Falls eine Gruppe   auf einem reellen Vektorraum   operiert, dann heißt die korrespondierende Darstellung auf dem Vektorraum   reell.

Der Vektorraum   ist ein komplexer Vektorraum, auch genannt die Komplexifizierung von   Diese korrespondierende Darstellung ist gegeben durch   für alle  

Reelle Charaktere

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Jede reelle Darstellung   ordnet jedem Element   einer Gruppe   eine reelle lineare Abbildung   zu. Daher ist der Charakter jeder reellen Darstellung reell.

Aber umgekehrt ist nicht jede Darstellung mit einem reellen Charakter reell. So ist die Spur jedes Elements der Gruppe

 

reell. Also ist der Charakter der Selbstdarstellung   reell. Aber in keiner Basis sind alle Elemente von   reelle   Matrizen.

Charakterisierung reeller Darstellungen

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Eine irreduzible Darstellung von   auf einem Vektorraum über   kann bei Ausdehnung des Grundkörpers auf   reduzibel werden. Ein Beispiel ist die irreduzible Darstellung der zyklischen Gruppe   auf   gegeben durch

 

die über   reduzibel wird.

Das bedeutet, dass man durch die Klassifikation aller irreduziblen Darstellungen über   die reell sind, noch nicht alle irreduziblen reellen Darstellungen klassifiziert hat.

Man erhält jedoch folgendes:

Sei   ein reeller Vektorraum, auf dem   irreduzibel operiert,   die korrespondierende reelle Darstellung von   Falls der Darstellungsraum   nicht irreduzibel ist, hat er genau zwei irreduzible Faktoren und diese sind konjugierte komplexe Darstellungen von  

Für Beweise und mehr Informationen zu Darstellungen über allgemeinen Unterkörpern von   siehe [1].

Beispiel

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Sei   die zyklische Gruppe  , also die Menge   mit der Addition modulo   als Gruppenverknüpfung.

Eine reelle Darstellung dieser Gruppe erhält man, indem man der   die Drehung der reellen Ebene um 120 Grad zuordnet, also

 

Die entsprechende Darstellung auf   ist reduzibel, denn komplexe irreduzible Darstellungen abelscher Gruppen sind stets eindimensional. Die Darstellung auf   hingegen ist irreduzibel, denn eindimensionale Unterräume von  , das sind die Geraden durch den Nullpunkt, können bei einer Drehung um 120 Grad nicht in sich überführt werden.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Fulton-Harris, op. cit.