Ramanujansumme

mathematische Funktion

Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe , deren Wert von der natürlichen Zahl und der ganzen Zahl abhängt, bezeichnet. Sie wird durch

definiert. Die Schreibweise steht für den größten gemeinsamen Teiler von und , die Summation erstreckt sich also über die Zahlen mit , die zu teilerfremd sind. Die einzelnen Summanden sind Potenzen einer festen komplexen Einheitswurzel.

S. Ramanujan führte diese Summen 1916 ein.[1] Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Kreismethode nach Hardy, Littlewood und Winogradow.[2] → Siehe dazu auch Trigonometrisches Polynom.

Durch Ramanujansummen kann man interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen, die eine analytische Fortsetzung dieser Funktionen erlauben.

Schreibweisen

Bearbeiten

Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend   geschrieben und die Funktion   wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.[3]

Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme   als

  schreiben.

Für ganze Zahlen   und   schreibt man  , gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl   existiert, mit der   gilt. Existiert keine solche Zahl, schreibt man  , gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol   bedeutet, dass der Summationsindex   alle positiven Teiler von   durchläuft. Für eine Primzahlpotenz   und eine ganze Zahl   schreibt man   (gelesen „  teilt b genau“), falls   aber   – mit anderen Worten, falls  .

Elementare Eigenschaften

Bearbeiten

Hält man eine der Variablen   oder   in der Ramanujansumme   fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen,   muss für diesen Begriff als Variable auf   beschränkt werden. Bei festem   ist die Funktion    -periodisch, das heißt, es gilt

 , falls  .

Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man

 

denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von   und  , dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion   mit der konstanten Funktion  :

 .

Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:

 

Daraus folgt dann:

  • Die Ramanujansumme   nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an,
  • es gilt  ,  ,
  • sie ist bei festem   eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von  , das heißt,
aus   folgt  
  • und es gilt stets  .
  • Man kann die Ramanujansumme durch die Eulersche φ-Funktion   und die Möbiusfunktion   darstellen:[4]
  (für   setzt man  , allgemeiner   als positiven ggT fest),
  • ihre Werte sind bei festem   betragsmäßig durch   beschränkt,
  • ist   nicht quadratfrei, so ist  .

Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen Funktionen

Bearbeiten

Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskreter Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:[5] Seien   und   eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt

 

diskrete Fouriertransformierte von  . Für diese Fouriertransformierte gilt

  1.   und
  2.   für die inverse Transformierte.[5]

Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.

Beispiele

Bearbeiten
  • Größter gemeinsamer Teiler:
 
Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle   auf   als ganze Funktion.[5]
  • Eulersche φ-Funktion:
 
Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen
  und  
  • Die Teilerfunktion   lässt sich für   mittels Ramanujansummen explizit als Reihe darstellen:[6]
 
Die Berechnung der ersten Werte von   zeigt das Schwanken um den „Mittelwert“ (die durchschnittliche Größenordnung)  :
 
  • Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei   die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit
 
Dann folgt durch inverse Fouriertransformation für  
 
Das bedeutet: Genau dann, wenn die rechtsstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen   und   teilerfremd. Die rechte Seite der Gleichung hat dann den Wert 1.

Literatur

Bearbeiten
  • Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3.
  • Godfrey Harold Hardy: Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0.
  • Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5.
  • John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Auflage. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2.
  • Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 15, 1918, S. 259–276.
  • Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 9, 1916, S. 159–184.
  • Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6.
  • Robert Charles Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5.
  • Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. Band 8, Nr. 50, 2008 (emis.de [PDF]).
  • Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Ramanujan (1916).
  2. Vaughan (1997).
  3. Brüdern (1995) S. 20.
  4. Brüdern (1995) Lemma 1.3.1.
  5. a b c Schramm (2008).
  6. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.