Rademacherverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\{-1,1\}$ , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf $\mathbb {Z}$ genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

Definition

Die Rademacherverteilung ist definiert auf $\{-1,1\}$ und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

f(n)={\begin{cases}0{,}5&{\text{ falls }}n=-1\\0{,}5&{\text{ falls }}n=1\end{cases}}

Die Verteilungsfunktion ist dann

F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<-1\\0{,}5&{\text{ falls }}-1\leq t<1\\1&{\text{ falls }}t\geq 1\end{cases}}

Eigenschaften

Erwartungswert und andere Lagemaße

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

\operatorname {E} (X)=0

.

Der Median ist

{\tilde {m}}=0

.

Varianz

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

\operatorname {Var} (X)=\sigma _{X}=1

.

Symmetrie

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

Schiefe

Die Schiefe ist

\operatorname {v} (X)=0

.

Exzess und Wölbung

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

\gamma =-2

.

Damit ist die Wölbung

\beta _{2}=1

.

Höhere Momente

Die $k$ -ten Momente sind

m_{k}=\left\{{\begin{array}{cc}0&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ gerade}}\\1&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ ungerade}}\end{array}}\right\}

Entropie

Die Entropie ist

\mathrm {H} (X)=\log _{2}(2)

gemessen in Bit.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

g_{X}(t)=\ln(\cosh(t))

.

Damit ist die erste Ableitung

g'_{X}(t)=\tanh(t)

und daher $\tau _{1}=0$ die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

M_{X}(t)=\cosh(t)

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

\varphi _{X}(t)=\cos(t)

.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q=0{,}5$ .

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf $x_{1}=-1,x_{2}=1$ .

Beziehung zur Bernoulliverteilung

Sowohl die Bernoulliverteilung mit $p=q=0{,}5$ als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomialverteilung und der stochastischen Irrfahrt

Sind $X_{1},X_{2},\dots$ unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

Y_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}

genau die symmetrische einfache Irrfahrt auf $\mathbb {Z}$ . Demnach ist

0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim Bin(n;0{,}5)

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplaceverteilung

Ist $X$ rademacherverteilt, und ist $Y$ exponentialverteilt zum Parameter $\lambda$ , so ist $X\cdot Y$ laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter ${\frac {1}{\lambda }}$ .

Vorkommen

Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.

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