Pythagoreisches Quadrupel

Tupel von ganzen Zahlen mit bestimmten Eigenschaften

Ein pythagoreisches Quadrupel[1] ist ein Tupel von ganzen Zahlen , so dass gilt:

Alle vier primitiven pythagoreischen Quadrupel mit einstelligen Werten
.

Es handelt sich dabei um die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Lösungen betrachtet.[2]

Primitive pythagoreische Quadrupeln

Bearbeiten

Ein pythagoreisches Quadrupel   heißt primitives pythagoreisches Quadrupel, wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der größte gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist (wenn also   gilt). Jedes pythagoreische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoreischen Quadrupels.

Beispiel 1:

Das Tupel   ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil   ist und   gilt.

Beispiel 2:

Das Tupel   ist kein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil   ist, obwohl   gilt.

Beispiele

Bearbeiten

Es gibt 31 primitive pythagoreische Quadrupel, bei denen alle Werte kleiner als 30 sind:

         
1 2 2 3  
2 3 6 7  
1 4 8 9  
4 4 7 9  
2 6 9 11  
6 6 7 11  
3 4 12 13  
2 5 14 15  
         
2 10 11 15  
1 12 12 17  
8 9 12 17  
1 6 18 19  
6 6 17 19  
6 10 15 19  
4 5 20 21  
4 8 19 21  
         
4 13 16 21  
8 11 16 21  
3 6 22 23  
3 14 18 23  
6 13 18 23  
9 12 20 25  
12 15 16 25  
2 7 26 27  
         
2 10 25 27  
2 14 23 27  
7 14 22 27  
10 10 23 27  
3 16 24 29  
11 12 24 29  
12 16 21 29  

Aus diesen primitiven pythagoreischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht-primitive pythagoreische Quadrupel bilden. Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoreischen Quadrupel   durch Multiplikation mit   die nicht-primitiven pythagoreischen Quadrupel  ,  ,   etc. bilden.

Geometrische Deutung

Bearbeiten

Ein pythagoreisches Quadrupel   definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen   und   (wobei mit   der Betrag von   gemeint ist). Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Länge  . Pythagoreische Quadrupel heißen deswegen auf Englisch auch Pythagorean boxes.[3]

Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln

Bearbeiten
  • Das pythagoreische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist  .
  • Sei   mit  . Dann gilt:[4]
Das Produkt   ist immer durch   teilbar.
Eine größere Zahl, die dieses Produkt teilt, gibt es nicht, denn für das kleinste pythagoreische Quadrupel (also für  ) gilt  . Somit kann es keine größere Zahl geben, die das Produkt teilt.

Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln

Bearbeiten
Seien   positive ganze Zahlen. Dann kann die Menge der pythagoreischen Quadrupel mit ungeradem   wie folgt erzeugt werden:
 
Gelten zusätzlich die folgenden elf Bedingungen, dann kann damit die Menge von primitiven pythagoreischen Quadrupeln mit ungeradem   erzeugt werden.[6]
 
Alle primitiven pythagoreischen Quadrupel erfüllen somit die diophantische Gleichung  , welche man auch Lebesguesche Identität nennt:[7][8]
 
Beispiel 1:
Sei   und  . Dann sind alle zusätzlichen Bedingungen erfüllt und es ist   und   und tatsächlich ist   ein primitives pythagoreisches Quadrupel.
Beispiel 2:
Sei   und  . Dann ist die zusätzliche Bedingung   zwar nicht erfüllt, es ist aber   und   wegen   trotzdem ein pythagoreisches Quadrupel, allerdings mit  .
Beispiel 3:
Sei   und  . Dann ist   und   und tatsächlich ist  . Allerdings ist dieses pythagoreische Quadrupel nicht primitiv, weil   und die Bedingung   ist.
  • Methode 2:
Alle pythagoreischen Quadrupel (inklusive der nicht-primitiven) können wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen   und   erzeugt werden:
Sei die Parität von   und   verschieden (sei also entweder   gerade und   ungerade oder   ungerade und   gerade). Sei weiters   ein Faktor von   mit  . Dann gilt:
  und   mit  
Beispiel:
Sei   und  . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt und es ist   und   (und es ist  ) und tatsächlich ist  .
Seien   und   gerade Zahlen. Sei außerdem   ein Teiler von   mit  . Dann gilt:
  und  
Diese Methode erzeugt alle pythagoreischen Quadrupel exakt ein Mal, wenn   und   alle Paare natürlicher Zahlen durchlaufen und   alle möglichen Werte für jedes Paar durchläuft.
Beispiel:
Sei   und  . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt,  ,   und es ist   und   und tatsächlich ist  .
  • Es gibt kein pythagoreisches Quadrupel, bei dem mehr als eine der Zahlen  ,  ,   ungerade ist.
  • Methode 4:
Sei   eine positive ganze Zahl. Dann kann ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden:
 
Beispiel:
Sei  ,   und  . dann ist  , und tatsächlich ist  .
  • Methode 5:
Seien   drei positive ganze Zahlen. Dann lässt sich ein pythagoreisches Quadrupel   wie folgt erzeugen:
 
Beispiel:
Sei  ,   und  .

So ist  ,  ,   und   tatsächlich ein pythagoreisches Quadrupel, denn  . Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven   Quadrupels.

Siehe auch

Bearbeiten
Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.
  2. a b Robert Spira: The Diophantine Equation x2+y2+z2=m2. The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 360–365, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  3. Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan: Pythagorean Boxes. Mathematics Magazine 74 (3), Juni 2001, S. 222–227, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  4. Des MacHale, Christian van den Bosch: Generalising a result about Pythagorean triples. The Mathematical Gazette 96 (535), März 2012, S. 91–96, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  5. Paul Oliverio: Self-Generating Pythagorean Quadruples and n-Tuples. Jefferson High School, Los Angeles, Dezember 1993, S. 98–101, abgerufen am 18. Oktober 2019.
  6. Robert Spira: The Diophantine Equation x2+y2+z2=m2, Theorem 2. The American Mathematical Monthly 69 (5), 1962, S. 362, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  7. Pythagorean Quadruple. GeeksforGeeks - A computer science portal for geeks, abgerufen am 11. Oktober 2019.
  8. Eric W. Weisstein: Lebesgue Identity. Wolfram MathWorld, abgerufen am 18. Oktober 2019.
  9. Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, Theorem 2.2.3. Birkhäuser, S. 79, abgerufen am 18. Oktober 2019.