Das Primonengas ist ein Beispielmodell, das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik, der Physik der Wärme und der Zahlentheorie verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den Primonen, die so heißen, weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird.

Übersicht

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Die Idee des Primonengases geht zurück auf Bernard Julia[1].

Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.

Quantentheoretische Beschreibung

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Einzelnes Primon

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Die Eigenzustände der einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen   der Primzahlen sind:

 

mit

 

Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.

Vielteilchensystem

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Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl   befinden sich   Teilchen (Fockraum).

Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl  , bei der der Primfaktor   in der  -ten Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (Fundamentalsatz der Arithmetik), entspricht jede natürliche Zahl   einem Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl   enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt daher nahe, den Zustand durch diese Zahl   zu benennen.

 

mit

 

Die Energie des Vielteilchenzustandes ist

 

Beispiele

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  • Der Zustand   enthält keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0.
  • Der Zustand   enthält acht Teilchen im Zustand 2 (dem niedrigsten Einteilchenzustand) und hat die Energie  .
  • Der Zustand   enthält drei Teilchen im Zustand 2, zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5. Die Gesamtenergie ist  .

Thermodynamische Beschreibung

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Die kanonische Zustandssumme   ist gleich der Riemannschen Zeta-Funktion:

 

Dabei ist  ,   die Boltzmann-Konstante und   die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei   entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn-Temperatur  .

Fermionen

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Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.

Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen   müssen dann nämlich quadratfrei sein.

Einzelnachweise

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  1. Bernard L. Julia: Statistical theory of numbers. In: J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt (Hrsg.): Number Theory and Physics. Proceedings of the Winter School, Les Houches, France, March 7-16, 1989' (Springer Proceedings in Physics, Vol. 47) Springer, Berlin 1990, ISBN 0387521291, S. 276–293.
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