Der mathematische Begriff normierte Algebra bezeichnet eine bestimmte algebraische Struktur, auf der zusätzlich eine verträgliche Norm erklärt ist.

Definition

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Eine normierte Algebra ist ein Paar   bestehend aus einer  -Algebra  , wobei   für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen steht, und einer auf   definierten Norm  , so dass folgendes gilt [1]:

  •   für alle  
  •   für alle   und   (Homogenität)
  •   für alle   (Dreiecksungleichung)
  •   für alle  

Die ersten drei Normbedingungen machen   zu einem normierten  - Vektorraum. Die letzte multiplikative Normbedingung ist die zur additiven Dreiecksungleichung analoge Bedingung für die Multiplikation, manche Autoren sprechen daher auch von der multiplikativen Dreiecksungleichung. Diese Bedingung sichert die Stetigkeit der Multiplikation, normierte Algebren sind daher topologische Algebren.

Beispiele

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  • Die wichtigsten Beispiele normierter Algebren sind die Banachalgebren, also diejenigen, die bezüglich ihrer Norm vollständig sind.
  • Der Körper   mit dem Betrag als Norm ist eine normierte Algebra.
  • Die Algebra   aller Polynome in einer Unbestimmten mit der durch   definierten Norm ist eine nicht-vollständige normierte Algebra.

Eigenschaften

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  • Die Norm definiert eine Topologie auf der normierten Algebra  , die sogenannte Normtopologie. Aus den Eigenschaften der Norm ergibt sich sofort, dass die algebraischen Operationen stetig sind: Ist   und   sowie   mit   und  , so folgt  ,   und   jeweils für   bezüglich der Normtopologie auf  .
  • Die algebraischen Operationen setzen sich eindeutig stetig auf die Vervollständigung einer normierten Algebra fort; diese Vervollständigung ist dann eine Banachalgebra. Damit ist jede normierte Algebra dicht in einer Banachalgebra enthalten.

Anwendungen

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Die normierten Algebren haben bei weitem nicht die Bedeutung wie die Banachalgebren. Manche Konstruktionen in der Theorie der Banachalgebren führen allerdings zunächst auf normierte Algebren, die dann in einem anschließenden Konstruktionsschritt vervollständigt werden; als Beispiele seien die AF-Algebren als Vervollständigung induktiver Limiten, das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren oder die Bildung der  -Algebren in der harmonischen Analyse als Vervollständigung der entsprechenden Algebren stetiger Funktionen mit kompaktem Träger genannt.

Viele Sätze aus der Theorie der Banachalgebren verlieren für normierte Algebren ihre Gültigkeit, was die Bedeutung der Vollständigkeit beleuchtet. In obigem Beispiel   ist die Punktauswertung   ein unstetiger Homomorphismus. Ist   ein nicht-konstantes Polynom, so ist  , definiert als die Menge aller  , so dass   nicht invertierbar ist, gleich ganz  , insbesondere also nicht kompakt. Beide Phänomene können bei Banachalgebren nicht auftreten.

Lokale Banachalgebren

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Für manche Anwendungen kommt man mit einer abgeschwächten Vollständigkeitseigenschaft aus. Eine normierte Algebra   heißt lokale Banachalgebra, wenn sie bezüglich des holomorphen Funktionalkalküls abgeschlossen ist.[2] Genauer bedeutet dies: Sind  ,   das bezüglich der Vervollständigung   gebildete Spektrum und   eine in einer Umgebung von   definierte holomorphe Funktion, mit  , falls   kein Einselement hat, so liegt   in  . Dabei ist   nach dem holomorphen Funktionalkalkül in   gebildet.

Ist beispielsweise   ein lokalkompakter Hausdorffraum, so ist die Algebra   aller stetigen Funktionen   mit kompaktem Träger eine lokale Banachalgebra. Ist   nicht kompakt, so ist   keine Banachalgebra.

Abweichend von dieser Definition werden in [3] induktive Limiten von Banachalgebren als lokal definiert. Diese sind offenbar bezüglich des holomorphen Funktionalkalküls abgeschlossen, da dieser in den Stufen des induktiven Limes, die ja Banachalgebren sind, ausgeführt werden kann.

Einzelnachweise

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  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862, Kapitel I. Definition 10
  2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Kapitel II, 3.1
  3. J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 2.11 und nachfolgender Text