Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen und ist er definiert als

[1]


Dabei ist die Fakultät von bzw. analog die Fakultät von .

Für und muss sein und man erhält als Spezialfall den Binomialkoeffizienten .

Eigenschaften

Bearbeiten

Multinomialkoeffizienten sind stets ganzzahlig.

Sie lassen sich aus verschiedene Arten darstellen, zum Beispiel auch mithilfe von Binomialkoeffizienten als

 .

Anwendungen und Interpretationen

Bearbeiten

Multinomialsatz

Bearbeiten

Multinomialkoeffizienen treten auf, wenn man ein Multinom, also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert. In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt nämlich nach dem Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)

 .

Hieraus folgt sofort:

 

Multinomialverteilung

Bearbeiten

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

 ,

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Kombinatorische Deutungen

Bearbeiten

Objekte in Kisten

Bearbeiten

Der Multinomialkoeffizient   gibt die Anzahl der Möglichkeiten an,   (unterscheidbare) Objekte in   Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau   Objekte sollen, in die zweite Schachtel   Objekte usw.

Beispiel
Bearbeiten

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um   Objekte handelt, die in   Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je   Objekte und in die vierte Schachtel   Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

 

Anordnung von Dingen

Bearbeiten

Der Multinomialkoeffizient   gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von   Objekten an, von denen   gleich sind.[2]

Beispiel
Bearbeiten

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, elf Buchstaben ( ) anzuordnen, wobei das "M" einmal ( ), das "I" sowie das "S" jeweils viermal ( ) und das "P" zweimal ( ) vorkommt. Diese Anzahl beträgt

 

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf paarweise verschiedene Objekte anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Pascalsche Simplizes

Bearbeiten

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die  -ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu  -dimensionalen pascalschen Simplizes.

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Tilo Arens et al.: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 93.
  2. Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-27787-3, S. 19.