Membrangleichung (Statik)

mathematische Beschreibung einer Membran

Die Membrangleichung beschreibt statisch eine Membran durch eine partielle Differentialgleichung.

Herleitung

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Eine Last   wirkt auf eine Membran, die vollständig biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft   aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in  -Richtung und in  -Richtung, so lassen sich unter der Annahme, dass die Durchbiegung   klein ist, folgende Beziehungen aufstellen:[1]

 

und

 .

Dabei sind   und   die zweiten Ableitungen in  - und  -Richtung.   und   sind die Anteile der Last   in  - und  -Richtung.

Mit der Gleichgewichtsbedingung   erhält man nun die Membrangleichung:

 ,

wobei   der Laplaceoperator ist.

Als Randbedingung nimmt man   an. Das heißt, der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.

Das Problem stellt damit eine Poissongleichung dar.

Anwendung

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Eine Anwendung mit der Membrananalogie der Torsion hat Ludwig Prandtl 1903 veröffentlicht und sie mit der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.[1][2]

Einzelnachweise

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  1. a b Fritz Stüssi: Entwurf und Berechnung von Stahlbauten. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1958, ISBN 978-3-662-11682-1, S. 206, doi:10.1007/978-3-662-11682-1.
  2. Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Springer Verlag, Heidelberg, Berlin 1961, ISBN 978-3-662-11836-8, Zur Torsion von prismatischen Stäben, S. 79–80, doi:10.1007/978-3-662-11836-8_4.