Mehrfach orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome in einer Variable, welche das Orthogonalitätskriterium bezüglich einer endlichen Familie von Maßen erfüllen. Sie sind nicht zu verwechseln mit den orthogonalen Polynomen in mehreren Variablen, den multivariablen orthogonalen Polynomen. Die Polynome werden in zwei Klassen unterteilt, genannt Typ 1 und Typ 2.

In der Literatur existieren weitere Namen für die mehrfach orthogonalen Polynome, sie werden u. a. auch als -orthogonale Polynome, Hermite-Padé-Polynome oder polyorthogonale Polynome bezeichnet.[1]

Mehrfach orthogonale Polynome

Bearbeiten

Gegeben sei ein Multiindex   und   positive Maße   über den reellen Zahlen. Wie üblich ist  .

MOP vom Typ 1

Bearbeiten

Die Polynome vom Typ 1 werden als   für   notiert und als Vektor zusammengefasst  , wobei das  -te Polynom   höchstens vom Grad   sein kann. Weiter soll gelten

 

sowie

 

Erläuterungen

Bearbeiten

Wir haben also ein System von   Gleichungen für die   Koeffizienten der Polynome   definiert.

MOP vom Typ 2

Bearbeiten

Ein Polynom   ist vom Typ 2, wenn es monisch ist und vom Grad   sowie folgendes Orthogonalitätskriterium erfüllt ist:

 

Erläuterungen

Bearbeiten

Schreiben wir   aus, erhalten wir folgende Definition der MOP vom Typ 2

 
 
 
 

Literatur

Bearbeiten
  • Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 (Kapitel 23).
  • Andrei Martinez-Finkelshtein und Walter Van Assche: WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 63, 2016, S. 1029–1031.
  • Walter Van Assche und Els Coussement: Some classical multiple orthogonal polynomials. In: Elsevier (Hrsg.): Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 127, Nr. 1-2, 2001, S. 317–347, doi:10.1016/s0377-0427(00)00503-3.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.