In der Mathematik ist ein maximaler Torus einer kompakten Lie-Gruppe eine maximale kompakte, zusammenhängende, abelsche Untergruppe .

Er ist ein -Torus, seine Dimension ist per Definition der Rang der kompakten Lie-Gruppe .

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element zu einem Element aus konjugiert ist.

Beispiele

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Für   ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen   ein maximaler Torus.

Für   ist die Untergruppe aller Blockdiagonalmatrizen mit 2×2-Blöcken aus   ein maximaler Torus.

Eigenschaften

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Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element   zu einem Element aus   konjugiert ist.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen:

  • Alle maximalen Tori sind konjugiert zueinander.
  • Alle maximalen Tori haben dieselbe Dimension, den Rang von  .
  • Ein maximaler Torus ist eine maximale abelsche Untergruppe.
  • Die maximalen Tori sind die Bilder maximaler abelscher Unteralgebren unter der Exponentialabbildung  .
  • Jedes Element   liegt in einem maximalen Torus.
  • Die Differenz aus der Dimension und dem Rang von   ist eine gerade Zahl.

Literatur

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  • T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98 (2nd ed.), Springer, 1995, ISBN 3540136789
  • J. F.Adams: Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, 1969, ISBN 0226005305
  • N. Bourbaki: Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, 1982, ISBN 354034392X
  • J. Dieudonné: Treatise on analysis 5 (Chapter XXI), Academic Press, 1977, ISBN 012215505X
  • J. Duistermaat, A. Kolk: Lie groups, Universitext, Springer, 2002, ISBN 3540152938
  • B. Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
  • S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, 1977, ISBN 0821828487
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