Littlewood-Paley-Theorie

Begriff aus der harmonischen Analysis, Mathematik

Die Littlewood-Paley-Theorie beschreibt in der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, das Erweitern von gewissen Resultaten über -Funktionen auf -Funktionen für . Sie wird normalerweise als Ersatz für Orthogonalitätsargumente verwendet, die für -Funktionen nur gelten, wenn ist. Eine Implementierung besteht darin, eine Funktion zu untersuchen, indem sie in Funktionen mit lokalisierten Frequenzen zerlegt wird, und die Littlewood-Paley--Funktion zu verwenden, um sie mit ihrem Poisson-Integral zu vergleichen. Der 1-Variablen-Fall wurde von J. E. Littlewood und R. Paley[1][2][3] entwickelt und von den polnischen Mathematikern A. Zygmund und J. Marcinkiewicz in den 1930er Jahren unter Verwendung der Theorie komplexer Funktionen weiterentwickelt.[4] E. M. Stein erweiterte die Theorie später auf höhere Dimensionen unter Verwendung von Techniken für reelle Variablen.

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Die dyadische Zerlegung einer Funktion

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Die Littlewood-Paley-Theorie verwendet eine Zerlegung einer Funktion   in eine Summe von Funktionen   mit lokalisierten Frequenzen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine solche Zerlegung zu konstruieren; eine typische Methode ist die folgende.

Wenn   eine Funktion auf   ist und   eine messbare Menge (im Frequenzraum) mit charakteristischer Funktion   ist, dann ist   über seine Fouriertransformation definiert:

 

Heuristisch gesehen, ist   der Teil von  , dessen Frequenzen in   liegen.

Wenn   eine Sammlung von messbaren Mengen ist, die (bis auf Maß 0) disjunkt sind und eine Vereinigung auf der reellen Linie haben, dann kann eine wohlverhaltende Funktion   als eine Summe von Funktionen   für   geschrieben werden.

Wenn   aus den Mengen der Form

 

für   eine ganze Zahl, ergibt dies eine sogenannte „dyadische Zerlegung“  .

Es gibt viele Variationen dieser Konstruktion; zum Beispiel kann die charakteristische Funktion einer Menge, die in der Definition von   verwendet wird, durch eine glattere Funktion ersetzt werden.

Eine wichtige Anwendung der Littlewood-Paley-Theorie ist das Littlewood-Paley-Theorem, das die Größe der Funktionen   in Abhängigkeit der Größe von   beschränkt. Es gibt viele Versionen dieses Theorems, die den verschiedenen Möglichkeiten der Zerlegung von   entsprechen. Eine typische Abschätzung ist die Begrenzung der  -Norm von   durch ein Vielfaches der  -Norm von  .

In höheren Dimensionen ist es möglich, diese Konstruktion zu verallgemeinern, indem man Intervalle durch Rechtecke mit zu den Koordinatenachsen parallelen Seiten ersetzt. Leider handelt es sich dabei um recht spezielle Mengen, was die Anwendungen auf höhere Dimensionen beschränkt.

Die Littlewood–Paley-g-Funktion

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Die  -Funktion ist ein nichtlinearer Operator auf  , der zur Kontrolle der  -Norm einer Funktion   in Form ihres Poisson-Integrals verwendet werden kann. Das Poisson-Integral   von   ist für   definiert durch

 ,

wobei der Poisson-Kern in der oberen Hälfte   durch

 

gegeben ist. Die Littlewood–Paley- -Funktion   ist definiert durch

 

Eine grundlegende Eigenschaft von   ist, dass es die Normen annähernd bewahrt. Genauer gesagt, für   ist das Verhältnis der  -Normen von   und   nach oben und unten durch feste positive Konstanten begrenzt, die von   und  , aber nicht von   abhängen.

Anwendungen

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Eine frühe Anwendung der Littlewood-Paley-Theorie war der Beweis, dass die Folge   fast überall konvergiert, wenn   die Partialsummen der Fourier-Reihen einer periodischen  -Funktion ( ) sind und   eine Folge ist, die   für ein festes   erfüllt. Dies wurde später durch das Carleson-Hunt-Theorem verbessert, das zeigt, dass   selbst fast überall konvergiert.

Die Littlewood-Paley-Theorie kann auch zum Beweis des Multiplikatorsatzes von Marcinkiewicz verwendet werden.

Literatur

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  • Coifman, R. R.; Weiss, Guido (1978), "Book Review: Littlewood-Paley and multiplier theory", Bulletin of the American Mathematical Society, 84 (2): 242–250, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14464-4, ISSN 0002-9904, MR 1567040
  • Edwards, R. E.; Gaudry, G. I. (1977), Littlewood-Paley and multiplier theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-07726-8, MR 0618663
  • Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Littlewood-Paley theory and the study of function spaces, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 79, Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, doi:10.1090/cbms/079, ISBN 978-0-8218-0731-6, MR 1107300
  • Stein, Elias M. (1970), Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Paley theory., Annals of Mathematics Studies, No. 63, Princeton University Press, MR 0252961
  • Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498

Einzelnachweise

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  1. Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1931), Theorems on Fourier Series and Power Series, J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, doi:10.1112/jlms/s1-6.3.230
  2. Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1937), Theorems on Fourier Series and Power Series (II), Proc. London Math. Soc., 42 (1): 52–89, doi:10.1112/plms/s2-42.1.52
  3. Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1938), Theorems on Fourier Series and Power Series (III), Proc. London Math. Soc., 43 (2): 105–126, doi:10.1112/plms/s2-43.2.105
  4. Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498, Kapitel XIV, XV