Eine lineare Antwortfunktion beschreibt den Zusammenhang („Vermittlung“) zwischen einer „Ursache“ und der durch sie hervorgerufenen „Wirkung“ in mathematischer Form. Dieser Zusammenhang ist sehr allgemein und gilt z. B. bei der Signalübertragung, speziell bei der Übertragung von Radiotexten oder Fernsehbildern bzw. Video-Signalen durch elektromagnetische Wellen. Die betroffenen Fachwissenschaften sind u. a. Mathematik und Informatik sowie alle Natur- und Ingenieurwissenschaften. In den jeweiligen Wissenschaften existieren alternative Namen für jeweils mathematisch ein und dieselbe „Vermittlungsfunktion“: z. B. magnetische Suszeptibilität in der Elektrodynamik, Greensche Funktionen in Mathematik und Physik, Impedanz in der Elektrizitätslehre usw.

Mathematische Definition

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  • Der „Input“ („die Ursache“) eines Systems sei mathematisch durch die zeitabhängige Funktion   beschrieben, z. B. eine Kraftkomponente oder eine sonstige physikalische Größe.
  • Der „Response“ des betrachteten Systems („die Antwort“ bzw. „die Wirkung“) sei die Größe   (z. B. eine neue Ortsfunktion). Der Wert dieser Größe wird im Allgemeinen nicht nur vom gegenwärtigen Wert der Größe   abhängen, sondern auch von früheren Werten  . Aus Kausalitätsgründen muss aber t' kleiner sein als der Endpunkt t der Beeinflussung, weil die Ursache der Wirkung vorangehen muss.   ist daher eine gewichtete Summe aller früheren Werte der Größe  , mit Gewichtsfaktoren, die durch die Intervallgröße dt' und durch eine Responsefunktion   gegeben sind:
 

Dabei wurde die lineare Näherung benutzt, was durch die drei Punkte angedeutet ist, d. h., dass höhere Potenzen von h(t') vernachlässigt wurden.

Die Form der „Responsefunktion“   wird an dieser Stelle nicht benötigt. Wichtig ist nur noch, dass wegen der Homogenität der Variablen Zeit die Antwortfunktionen nicht separat von t und t' abhängen können, sondern nur von der Differenz  .

Wenn man über die lineare Näherung hinausgehen muss, erhält man stattdessen eine sog. Volterra-Reihe für den vollen nichtlinearen Response.

Die Fourier-Transformierte   der Linearen Antwortfunktion ist sehr nützlich: Sie beschreibt den „Output“ des Systems für den Fall, dass der Input eine Sinus-Welle ist,   mit Frequenz  

 

mit dem Verstärkungsfaktor   und der Phasenverschiebung  .

Beispiel

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Für ein schwach gedämpftes angetriebenes Schwingungssystem, den gedämpften harmonischen Oszillator, mit einem Input  , mit   als die imaginäre Einheit, gilt die folgende Bewegungsgleichung:

 

Die Fourier-Transformierte der Linearen-Response-Funktion ist:

 

Der Verstärkungsfaktor ist erneut der Betrag des Resultats, und aus dem Verhältnis von Imaginär- zu Realteil ergibt sich die Phasenfunktion  

Bei genauer Analyse zeigt sich, dass die Fourier-Transformierte   bei hinreichend kleinem   ein sehr scharfes Maximum bei der Frequenz   besitzt („Resonanz“). Die Breite   dieses Peaks ist gering im Vergleich zu  . Das Verhältnis   wird als „Güte“ der Resonanz bezeichnet und kann mehrere Zehnerpotenzen betragen.

Die lineare Antwortfunktion eines harmonischen Oszillators ist mathematisch identisch zu der eines elektrischen RLC-Schwingkreises in Reihenschaltung.

Ergänzung

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Im Kontext der Quantenstatistik stammt eine grundlegende Beziehung zur Linearen-Response-Theorie, die Kuboformel, von dem japanischen Physiker Ryogo Kubo.[1] Dabei zeigt sich im allgemeinen Fall, dass Real- und Imaginärteil der Fouriertransformierten der Suszeptibilität, also von   keine gesonderte Information in sich tragen, da sie nicht voneinander unabhängig sind. Sie hängen vielmehr durch Kramers-Kronig-Beziehungen zusammen, einen Spezialfall der Hilbert-Transformation. Man hat es mit ungewöhnlichen meromorphen Funktionen zu tun, die – wie beim gedämpften harmonischen Oszillator – Polstellen ausschließlich in der unteren komplexen Halbebene besitzen.

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Einzelnachweise

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  1. Kubo, R., Statistical Mechanical Theory of Irreversible Processes I, Journal of the Physical Society of Japan, vol. 12, pp. 570–586 (1957).

Siehe auch

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