In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators , welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

Hintergrund

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Die Lindblad-Gleichung für eine auf das  -dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix   kann geschrieben werden als:

 

Dabei bezeichnet

Die Summation läuft nur über  , weil wir   proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die   für   spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen   gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

 

Falls die Terme   alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen   werden Lindblad-Gleichungen genannt:

 

Diagonalisierung

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Da die Matrix   positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation   diagonalisiert werden:

 

wobei die Eigenwerte   nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis   definieren:

 

können wir die Lindblad-Gleichung in diagonaler Form umschreiben:

 

Diese Gleichung ist invariant unter unitärer Transformation der Lindblad-Operatoren und -Konstanten,

 

und auch unter inhomogener Transformation

 
 

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren   (solange nicht alle   identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der  , sind die   der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer Oszillator

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Ein häufiges Beispiel ist die Beschreibung der Dämpfung eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

 

Hier ist

  •   die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
  •   die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, um diverse Formen von Dephasierung und Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) zu modellieren. Diese Methoden sind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden zur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

Literatur

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  • A. Kossakowski: On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems. In: Reports on Mathematical Physics. Band 3, Nr. 4, 1972, doi:10.1016/0034-4877(72)90010-9, bibcode:1972RpMP....3..247K.
  • G. Lindblad: On the generators of quantum dynamical semigroups. In: Communications in Mathematical Physics. Band 48, Nr. 2, 1. Juni 1976, ISSN 0010-3616, S. 119–130, doi:10.1007/BF01608499, bibcode:1976CMaPh..48..119L.
  • Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski, E. C. G. Sudarshan: Completely positive dynamical semigroups of N‐level systems. In: Journal of Mathematical Physics. Band 17, Nr. 5, 1. Mai 1976, ISSN 0022-2488, S. 821–825, doi:10.1063/1.522979 (aip.org).
  • G. Lindblad: Non-Equilibrium Entropy and Irreversibility. Springer Verlag, 1983, ISBN 1-4020-0320-X (books.google.com).
  • Thomas Banks, Leonard Susskind, Michael E. Peskin: Difficulties for the evolution of pure states into mixed states. In: Nuclear Physics B. Band 244, Nr. 1, 1984, doi:10.1016/0550-3213(84)90184-6, bibcode:1984NuPhB.244..125B.
  • Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18276-4.
  • Roman S. Ingarden, A. Kossakowski, M. Ohya: Information dynamics and open systems. Classical and quantum approach. Springer Verlag, Berlin 1997, ISBN 0-7923-4473-1.
  • Luigi Accardi, Yun Gang Lu, Igor V. Volovič: Quantum theory and its stochastic limit. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York/ Barcelona/ Hong Kong/ London/ Mailand/ Paris/ Tokyo 2002, ISBN 3-540-41928-4.
  • The Theory of Open Quantum Systems. Oxford University Press, New York 2002, ISBN 0-19-852063-8.
  • Open quantum systems. 2. The Markovian approach. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2006, ISBN 3-540-30992-6.
  • Quantum mechanics of non-Hamiltonian and dissipative systems. Elsevier Science, Amsterdam/ Boston/ London/ New York 2008, ISBN 978-0-08-055971-1.
  • C.W. Gardiner, Peter Zoller: Quantum noise. A handbook of Markovian and non-Markovian quantum stochastic methods with applications to quantum optics (= Springer Series in Synergetics). 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-06094-6.
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