Lemma von Goursat

mathematischer Satz

Das Lemma von Goursat, manchmal auch als Satz von Goursat bezeichnet, ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Das Lemma von Goursat ist eine Vorstufe des Cauchyschen Integralsatzes und wird auch oft für dessen Beweis genutzt. Es spielt im Aufbau der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. Bemerkenswert ist, dass das Lemma lediglich die komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht aber die stetige Differenzierbarkeit. Das Lemma wurde von Édouard Goursat (1858-1936) in der Rechteckform bewiesen und 1884 veröffentlicht. Die heute übliche Dreiecksform stammt von Alfred Pringsheim.

Das Lemma von Goursat

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Das Lemma von Goursat für Dreiecke

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Sei   offen und   holomorph (komplex-differenzierbar). Dann gilt für das Wegintegral längs der Randkurve   eines jeden in   gelegenen Dreieckes  :

 

Das Lemma von Goursat für Rechtecke

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Manchmal wird das Lemma von Goursat auch für Rechtecke formuliert:

Sei   offen und   holomorph. Dann gilt für alle Randkurven   eines in   gelegenen Rechteckes  :

 

Verschärfung des Lemmas von Goursat

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Das Lemma von Goursat gilt auch unter etwas schwächeren Voraussetzungen:

Sei   offen,   und   stetig und holomorph auf  , dann gilt für alle Randkurven   von in   gelegenen Dreiecken   mit   als Eckpunkt:

 

Literatur

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