Legendresche Vermutung

zahlentheoretische Aussage

Die Legendresche Vermutung (benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre) ist eine zahlentheoretische Aussage, die besagt, dass es für jede natürliche Zahl mindestens eine Primzahl zwischen und gibt.

Primzahlen in quadratischen Anordnungen

Die Vermutung ist eines der Landau-Probleme – benannt nach Edmund Landau, der sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge 1912 zu den vier zur damaligen Zeit nicht attackierbaren Vermutungen über Primzahlen zählte.[1]

Die Vermutung ist unbewiesen. Es konnte allerdings gezeigt werden, dass zwischen und immer eine Primzahl oder eine Semiprimzahl liegt.[2]

Die Legendresche Vermutung stellt eine notwendige Bedingung für die nachfolgende (ebenfalls unbewiesene) Vermutung dar:

Gegeben sei eine Primzahl . Die natürlichen Zahlen bis seien zeilenweise aufsteigend quadratisch angeordnet wie in der Abbildung für die ersten fünf Primzahlen und dargestellt.
Dann gibt es zu jeder solchen quadratischen Anordnung eine Auswahl von Primzahlen, so dass sich in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine Primzahl befindet.

Daraus, dass sich in der letzten Zeile einer jeden quadratischen Anordnung mindestens eine Primzahl befinden muss, lässt sich die Legendresche Vermutung folgern.[3]

In Analogie zur Legendreschen Vermutung bewies Albert Ingham für Kubikzahlen: Für jedes hinreichend große liegt zwischen und mindestens eine Primzahl.[4]

Beispiele

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Für   bestätigen die Primzahlen   die Legendresche Vermutung.

Verwandtes

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Nach der Brocardschen Vermutung (benannt nach Henri Brocard) gibt es für jedes   mindestens vier Primzahlen zwischen   und   Dabei ist   die n-te Primzahl (also     …). Beispielsweise liegen zwischen   und   die fünf Primzahlen  . Auch diese Vermutung ist unbewiesen.[5]

Der dänische Mathematiker Ludvig Oppermann (1817–1883) vermutete 1882 (Vermutung von Oppermann), dass es für   zwischen   und   mindestens eine Primzahl gibt (und ebenso zwischen   und  ). Eine andere Formulierung mit der Primzahlfunktion   lautet  . Aus der Vermutung folgt, dass es mindestens vier Primzahlen zwischen   und   gibt und mindestens zwei zwischen   und   (eine zwischen   und   und eine zwischen   und  ), sie ist also eine Verschärfung der Legendre-Vermutung. Ebenso folgt, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen   ist. Dies ist ebenfalls unbewiesen.[6]

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Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: Landau’s Problems. In: MathWorld (englisch).
  2. Vgl. Jing Run Chen: On the distribution of almost primes in an interval. In: Scientia Sinica 18 (1975), S. 611–627.
  3. Martin Erickson: Mathematische Appetithäppchen - Faszinierende Bilder. Packende Formeln. Reizvolle Sätze. Aus dem Englischen übersetzt von Roland Girgensohn, . Übersetzung der amerikanischen Ausgabe: Beautiful Mathematics von Martin Erickson, erschienen 2011 bei Mathematical Association of America, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45458-9, Seite 7
  4. Vgl. Albert E. Ingham: On the difference between consecutive primes. In: The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford Series 8 (1937), Nr. 1, S. 255–266.
  5. Eric W. Weisstein: Brocard’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  6. Zum Beispiel Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK (dt. Das BUCH der Beweise), Springer 2018, S. 12