Die Lebesgue-Zerlegung einer reellen Funktion ist eine maßtheoretische Aussage, die eine Funktion in drei Funktionen mit klar definierten Eigenschaften zerlegt. Ein Spezialfall hiervon ist der Darstellungssatz aus der Stochastik. Er zerlegt Wahrscheinlichkeitsmaße auf über die Lebesgue-Zerlegung der Verteilungsfunktion auf eindeutige Weise in eine absolut stetigen, eine diskreten und einen stetigsingulären Teil.

Die Aussage wurde von Henri Léon Lebesgue 1904 gezeigt.[1]

Es sei   das Lebesgue-Borel-Maß. Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Funktion

 .

Dann ist    -fast überall differenzierbar und es bezeichne   die  -fast überall definierte Ableitung.

Dann gilt: es existiert eine eindeutige Zerlegung

 ,

so dass

  •   ist und   eine monoton wachsende absolut stetige Funktion ist.
  •   und   eine monoton wachsende singuläre Funktion ist.
  •   eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Sprungfunktion ist

Für die zugehörigen Lebesgue-Stieltjes-Maße   bzw.   gilt dann

 .

Des Weiteren gilt:

  •   ist der rein atomare Anteil von  
  •   ist der atomlose Anteil von  .
  •   ist absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes   und besitzt die Radon-Nikodym-Dichte   bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes. Es gilt also für messbare  
 .
  •   ist singulär bezüglich des Borel-Maßes.

Darstellungssatz

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Direkt aus der Lebesgue-Zerlegung folgt der Darstellungssatz. Dabei werden die Normierungsbedingungen   fallen gelassen, da Verteilungsfunktionen im Sinne der Stochastik schon über die Bedingungen   und   festgelegt sind. Die Aussage lautet dann:[2]

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß   auf   mit Verteilungsfunktion  . Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen   mit  , so dass

 .

Hierbei ist

Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung kann also eindeutig in einen stetigen, eine diskreten und einen stetigsingulären Anteil aufgespalten werden.

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 308.
  2. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 262.