Im mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen ist das Kriterium von Mackey ein von George Mackey aufgestelltes Kriterium, um die Irreduzibilität von induzierten Darstellungen endlicher Gruppen zu überprüfen.

Begriffe und Notation

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Zwei Darstellungen   und   einer endlichen Gruppe   heißen disjunkt, falls sie keine irreduzible Komponente gemeinsam haben, d. h., falls   für das Skalarprodukt von Charakteren.

Sei   eine Gruppe und sei   eine Untergruppe. Definiere   für  
Sei   eine Darstellung der Untergruppe   Diese definiert durch Einschränkung eine Darstellung   von   Wir schreiben   für   Außerdem definiert   eine weitere Darstellung von   definiert durch   Diese beiden Darstellungen sollten nicht verwechselt werden.

Weiterhin bezeichnen wir mit   oder   die von der Darstellung   induzierte Darstellung von  .

Mackeys Irreduzibilitätskriterium

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Die induzierte Darstellung   ist genau dann irreduzibel, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  •   ist irreduzibel.
  • Für jedes   sind die zwei Darstellungen   und   von   disjunkt.

Ein Beweis dieses Satzes findet sich in [1].

Aus dem Satz erhalten wir direkt folgendes

Korollar

Sei   eine normale Untergruppe von   Dann ist   genau dann irreduzibel, wenn   irreduzibel und nicht isomorph zu den Konjugaten   für   ist.

Beweis

Ist   normal, so gilt   und   und damit folgt die Aussage direkt aus dem Kriterium von Mackey. 

Literatur

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  1. Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.