Kriterium von Abel

mathematisches Konvergenzkriterium

Das Kriterium von Abel ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für eine unendliche Reihe. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien und wurde nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) benannt.

Abelsches Kriterium für Konvergenz

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Die Reihe   mit   konvergiert, wenn   von endlicher Variation und die Reihe   konvergent ist.

Im Reellen genügt die Forderung, dass   monoton ist und   gilt anstelle der endlichen Variation von  .

Abelsches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

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Seien

 

und

 

auf dem Gebiet   definierte Funktionenfolgen.   sei gleichmäßig beschränkt, die Folgen   für jedes   monoton und die Reihe

 

gleichmäßig konvergent, dann ist auch die Reihe

 

gleichmäßig konvergent.[1]

Anwendung in der Praxis

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In der Praxis versucht man mit Hilfe des Abel-Kriteriums die einzelnen Summanden einer unendlichen Reihe so zu faktorisieren, dass aus einem der Faktoren eine bekannte konvergente Reihe und aus den anderen eine monoton fallende Folge von positiven Zahlen entsteht.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Fichtenholz G., Differential- und Integralrechnung, ISBN 978-3-8171-1279-1, Band 2, XII., §1.