Konvergenzkriterium von Pringsheim

Die Konvergenzkriterium von Pringsheim oder auch Hauptkriterium von Pringsheim ist ein Kriterium über das Konvergenzverhalten von unendlichen Kettenbrüchen. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim und gehört zu den klassischen Lehrsätzen der Kettenbruchlehre innerhalb der Analytischen Zahlentheorie.[1][2] In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Kriterium auch unter dem Namen Śleszyński-Pringsheim's theorem (u. Ä.) geführt,[3] wobei der erstgenannte Name auf den polnisch-russischen Mathematiker Ivan Śleszyński (1854–1931) verweist, der dieses Kriterium ebenfalls und schon vor Pringsheim gefunden hatte. Es gibt Hinweise darauf, dass Alfred Pringsheim die entsprechende Veröffentlichung von Ivan Śleszyński möglicherweise kannte, als er seine Veröffentlichung im Jahre 1898 machte.[4] Anzufügen ist hier aber auch der Hinweis von Oskar Perron im Band II seiner Lehre von den Kettenbrüchen, wonach der wesentliche Inhalt dieses Satzes schon in dem Lehrbuch der algebraischen Analysis von Moritz Abraham Stern (Leipzig 1860) zu finden ist.

Formulierung der Kriteriums

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Für zwei Folgen komplexer Zahlen   und  [5] mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

     [6]

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

 

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

     

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert   mit

   

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

        und damit    .

Teil III

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Der Grenzfall       liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)        
(IIIb)   Alle         sind negative reelle Zahlen.
(IIIc) Die Reihe       ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert   .

Folgerungen

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Aus dem Konvergenzkriterium von Pringsheim lassen sich mehrere weitere Konvergenzkriterien ableiten. Dazu zählen die folgenden:[7][8][9]

Folgerung I: Der Satz von Worpitzky

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Für eine Folge komplexer Zahlen      , die in allen Folgengliedern die Ungleichung

     

erfüllt, ist der Kettenbruch

 

stets konvergent.

Dabei gilt für die Näherungsbrüche           stets

 

und dementsprechend für den Wert       des Kettenbruchs

 .

Der Satz von Worpitzky wurde im Jahre 1865 von Julius Worpitzky veröffentlicht[10] und gilt als das erste Konvergenzkriterium für Kettenbrüche mit Elementen der komplexen Ebene.[11]

Folgerung II: Weiteres Konvergenzkriterium von Pringsheim

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Durch Spezialisierung findet man mit dem Konvergenzkriterium von Pringsheim ein weiteres, das Alfred Pringsheim in seiner Arbeit Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche in den Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften von 1898 selbst formuliert hat[12] und das wie folgt lautet:

Für eine Folge komplexer Zahlen      , die in allen Folgengliedern die Ungleichung

     

erfüllt, ist der reguläre Kettenbruch

 

stets konvergent.

Dieses weitere Konvergenzkriterium von Pringsheim ist beispielsweise immer anwendbar für den Fall, dass alle Teilnenner         mindestens den Betrag 2 haben.

Zugehörige Kriterien: Die Sätze von Stern-Stolz und von Seidel-Stern sowie der Konvergenzsatz von Tietze

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Im Falle der regulären unendlichen Kettenbrüche existieren hinsichtlich der Frage der Konvergenz und Divergenz einige Kriterien, die als Ergänzung zum pringsheimschen Konvergenzkriterium immer wieder zum Tragen kommen. Dazu zählen die im Folgenden dargestellten Sätze, die neben diesem zu den klassischen Resultaten der Kettenbruchkonvergenztheorie zählen.

Satz von Stern-Stolz

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Der Satz von Stern-Stolz formuliert eine sehr allgemeine Bedingung für die Divergenz regulärer unendlicher Kettenbrüche und lautet wie folgt:[13][14][15]

Ein beliebiger komplexer Kettenbruch

 

zu einer Folge komplexer Zahlen        

ist divergent, wenn die zugehörige Reihe

 

absolut konvergent ist. D. h.: Für die Konvergenz des Kettenbruchs ist es stets notwendig, dass

 

gilt.

Dieses Kriterium geht auf Moritz Abraham Stern und Otto Stolz zurück.[13][16][14][17][18]

Satz von Seidel-Stern

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Der Satz von Seidel-Stern verschärft den Satz von Stern-Stolz für den Fall regulärer unendlicher Kettenbrüche mit durchweg positiven Teilnennern, indem er die zuletzt genannte Bedingung sogar als notwendige und hinreichende Bedingung ausweist. Er lautet also:

Für eine Folge positiver reeller Zahlen       konvergiert der Kettenbruch

 

dann und nur dann, wenn die zugehörige Reihe

 

divergiert.

Dieses Kriterium geht auf Philipp Ludwig von Seidel und Moritz Abraham Stern zurück.[19][20][21][22] Es kommt zum Tragen, wenn die in Teil I des pringsheimschen Kriteriums genannte Ungleichung nicht durchgängig erfüllbar ist, jedoch in Verbindung mit der vorausgesetzten Positivität der Teilnenner durch die Reihendivergenzbedingung ersetzt werden kann.

Konvergenzsatz von Tietze

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Der Konvergenzsatz von Tietze behandelt ebenfalls das Konvergenzverhalten unendlicher Kettenbrüche. Er geht zurück auf den deutschen Mathematiker Heinrich Tietze und besagt Folgendes:[23][24]

Es seien zwei Folgen reeller Zahlen       und       gegeben, die für alle Indizes       den folgenden drei Bedingungen genügen:

  (I)    [25]
  (II)    
  (III)    

Dann ist der zugehörige Kettenbruch

  (*)    

stets konvergent. Die Folge der Näherungsbrüche

     

konvergiert dabei in       gegen den Grenzwert

 

und dabei gilt

 , falls    ,

bzw.

 , falls       .

Darüber hinaus erfüllen die Nenner       der Näherungsbrüche             stets die Ungleichung

 

und es ist

 .

Zusammenhang mit Irrationalität

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Ausgehend vom Konvergenzsatz von Tietze lassen sich Irrationalitätsaussagen erzielen. Wie schon Heinrich Tietze selbst bewies, konvergiert jeder unendliche Kettenbruch der Form   (*)   stets – mit einer einzigen Ausnahme! – gegen eine irrationale Zahl    , sofern man die Bedingungen wie folgt verschärft:[26]

  (Ia)    
  (IIb)      ,   (IIa)    
  (IIIa)      , sofern    
   

Die Ausnahme liegt dann vor, wenn ab einem Index       für alle Indizes       zusätzlich die folgende Ausnahmebedingung   (A)   erfüllt ist:

  (A)    ,    

In diesem Ausnahmefall ist der Grenzwert       eine rationale Zahl.

Beispiele und Anwendung

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Beispiel I

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Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim konvergiert der folgende unendliche Kettenbruch:

 

Da   (IIIb)   nicht erfüllt ist, ist   Teil III   nicht anwendbar. Vielmehr ist

   ,

wie sich aus den von Leonhard Euler und Ernesto Cesàro gefundenen Kettenbruchentwicklungen der eulerschen Zahl       ergibt.[27] Daher ist wegen der Transzendenz der eulerschen Zahl die Zahl       ebenfalls eine transzendente Zahl.

Beispiel II

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Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim und sogar nach der oben genannten Folgerung II konvergiert genauso der reguläre Kettenbruch

  .

Hier ist

   ,

wobei       eine Konstante darstellt, die mit der sogenannten Euler-Gompertz-Konstanten verwandt ist. Wie Carl Ludwig Siegel gezeigt hat, gehört auch       zu den transzendenten Zahlen.[28] Also ergibt sich auch hier, dass die Zahl       transzendent ist.

Beispiel III

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Nach der oben genannten Folgerung II konvergiert schließlich auch für beliebiges   ,       immer der folgende unendliche Kettenbruch:[29]

 

Hierfür gilt:

 [30]   .

Insbesondere ergibt sich für      :

 

und so

    .

Beispiel IV

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Wenn man in Beispiel III       einsetzt, so erhält man ebenfalls einen konvergenten unendlichen Kettenbruch    , wobei hier die Konvergenz zwar nicht durch das Konvergenzkriterium von Pringsheim, jedoch durch das Seidel-Sternsche Kriterium gesichert ist.

Es gilt nämlich

 ,

wobei       für die Goldene Zahl steht.[31]

Gegenbeispiel

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Wird in Beispiel III       gesetzt, also gleich der imaginären Einheit, so erhält man keinen konvergenten unendlichen Kettenbruch. Der unendliche Kettenbruch

 

ist also divergent, obwohl die Reihe

 

mit           selbst auch divergiert.

Dies zeigt, dass der Satz von Stern-Stolz im Allgemeinen nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von regulären unendlichen Kettenbrüchen angibt.[32]

Anwendung: Darstellung reeller Zahlen durch negativ-regelmäßige Kettenbrüche

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Ein unendlicher reeller Kettenbruch der Form

(*)  

zu natürlichen Zahlen         mit           und zu ganzzahligem Anfangsglied      heißt nach Alfred Pringsheim negativ-regelmäßig.

Die Namensgebung erklärt sich aus der engen Verwandtschaft mit den regelmäßigen Kettenbrüchen, die Pringsheim in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre ebenfalls behandelt.[33]

Jeder unendliche negativ-regelmäßige Kettenbruch ist nach dem pringsheimschen Konvergenzkriterium konvergent.[34]

Ausgehend davon erhält man den folgenden Darstellungssatz:[35][36]

Formulierung des Darstellungssatzes

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Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl       durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner       durch       eindeutig bestimmt ist.

Zusatz I: Algorithmus zur Bestimmung der Teilnenner

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Die Teilnenner lassen sich durch folgenden Algorithmus gewinnen:[37][38]

Für allgemeines       sei

 

die kleinste ganze Zahl größer  . Man hat also stets

 

und damit unter Benutzung der Gaußklammerfunktion

    .

Folglich ist stets

    .

Damit wird zunächst mittels Rekursion eine Folge       definiert:

 
     

Dann setzt man

       .

Zusatz II: Unterscheidung rationaler und irrationaler Zahlen

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Eine rationale Zahl       ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) ab einem gewissen Index     für         jeder Teilnenner       ist, während sich eine irrationale Zahl       dadurch auszeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) unendlich viele Teilnenner       sind    .[35][36]

Formulierung des Darstellungssatzes

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Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl       durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner       durch       eindeutig bestimmt ist.

Periodische negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellungen

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Eine reelle Zahl   mit der periodischen negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellung

 

ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms  , wenn der Kettenbruch konvergiert.

Für die negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellung gilt

 

Der Kettenbruch konvergiert genau dann, wenn   und   [39]

Für spezielle Quadratwurzeln kann die Darstellung als periodischer negativ-regelmäßiger Kettenbruch explizit bestimmt werden. Für alle positiven ganzen Zahlen   gilt

 
 
 
 

Beispiele für negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellungen

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Folgende Beispiele lassen sich angeben:[40][41]

1. Darstellung der 1
 

Dies folgt wegen   direkt aus Teil III des pringsheimschen Kriteriums.

2. Darstellung der Wurzel aus 2
 
3. Darstellung der Wurzel aus 3
 
4. Darstellung der Wurzel aus 7
 
5. Darstellungen zur goldenen Zahl
(a)  
(b)  

Anmerkungen

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  1. Auf Alfred Pringsheim gehen noch weitere Konvergenzkriterien für unendliche Kettenbrüche zurück. Darüber hinaus gibt es noch eine erhebliche Anzahl anderer Konvergenzkriterien.[42][43][44][45]
  2. Aus dem Darstellungssatz folgt unmittelbar, dass die Menge der reellen Zahlen von überabzählbarer Mächtigkeit ist.

Literatur

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  • Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge Univity Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-81805-2.
  • Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (= Studies in computational mathematics. Band 3). Elsevier, Amsterdam u. a. 1992, ISBN 0-444-89265-6.
  • William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 11). Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass. u. a. 1980, ISBN 0-201-13510-8.
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02021-1 (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1954).
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1957).
  • Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org).
  • Alfred Pringsheim: Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band: Zahlenlehre. Dritte Abteilung: Komplexe Zahlen – Reihen mit komplexen Gliedern – Unendliche Produkte und Kettenbrüche (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. XL, I.3). Teubner Verlag, Leipzig und Berlin 1921.
  • W. J. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13–20 (MR1192192).
  • Heinrich Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 236–265 (digizeitschriften.de).
  • Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org).
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Elsevier, Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0.
  • Hubert Stanley Wall: Analytic Theory of Continued Fractions. (= Chelsea Scientific Books. Band 207). Chelsea Publishing Company, Bronx, N. Y. 1967, ISBN 0-8284-0207-8 (Reprint der Auflage von Van Norstrand, New York 1948).
  • J. Worpitzky: Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche. In: Friedrichs-Gymnasium und Realschule: Jahresbericht. 1865, S. 3–39.

Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. Perron: S. 58.
  2. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 878 ff.
  3. Lorentzen, Waadeland: S. 30 ff.
  4. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13 ff.
  5. Da hinsichtlich der Konvergenz und Divergenz der Kettenbrüche das Anfangsglied   nie von Einfluss ist, wird es im Folgenden bei der Formulierung der Konvergenzkriterien i. d. R. nicht genannt. Durch die Addition eines Anfangsgliedes bleiben Konvergenz und Divergenz eines Kettenbruchs stets unberührt.
  6.   steht für den komplexen Betrag.
  7. Perron: S. 61–62.
  8. Lorentzen, Waadeland: S. 135.
  9. Jones, Thron: S. 94.
  10. Worpitzky: Untersuchungen… In: Jahresbericht. 1865, S. 29–30.
  11. Jones, Thron: S. 10, 94.
  12. Es wird auch in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre genannt; s. Band I.3, S. 880.
  13. a b Perron: S. 42.
  14. a b Lorentzen, Waadeland: S. 94.
  15. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 846.
  16. Jones, Thron: S. 79.
  17. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 846, 966.
  18. Allerdings wird im Zusammenhang mit diesem Satz bei H. S. Wall: S. 27–28, 424. auf Helge von Koch und dessen Arbeit Sur un théorème de Stieltjes et sur les fractions continues. In: Bull. Soc. Math. de France. Band 23, 1895, S. 23–40. verwiesen!
  19. Perron: S. 46.
  20. Lorentzen, Waadeland: S. 98.
  21. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 764, 962.
  22. Bei Jones, Thron: S. 87. wird der Satz von Seidel-Stern in einer etwas verschärften Fassung dargestellt, die Aussagen über das Konvergenzverhalten der Näherungsbrüche einbezieht.
  23. Perron: S. 135 ff.
  24. Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 236 ff.
  25.   steht für die Betragsfunktion.
  26. Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 246 ff.
  27. Perron: S. 19.
  28. Vgl. Finch: S. 423.
  29. Lorentzen, Waadeland: S. 32.
  30. Hier ist der Hauptwert der komplexen Quadratwurzelfunktion gemeint.
  31. Lorentzen, Waadeland: S. 46.
  32. Wall: S. 29.
  33. Die regelmäßigen Kettenbrüche zeichnen sich dadurch aus, dass sie regulär sind, dass alle ihre Teilnenner ab dem Index 1 natürliche Zahlen sind und dass das Anfangsglied jeweils ganzzahlig ist. Der Unterschied zwischen negativ-regelmäßigen Kettenbrüchen und regelmäßigen Kettenbrüchen liegt demnach im Vorzeichen der Teilzähler und darin, dass bei den regelmäßigen Kettenbrüchen auch der Teilnenner 1 zugelassen ist. Man betrachtet in beiden Fällen sowohl endliche als auch unendliche Kettenbrüche. Hier spielen allein die unendlichen Kettenbrüche eine Rolle. Vgl. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 752 ff., 773 ff., 812 ff.
  34. Ebenso konvergiert jeder unendliche regelmäßige Kettenbruch, und zwar nach dem Satz von Seidel-Stern; vgl. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 773.
  35. a b Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 819.
  36. a b Sierpiński: S. 337.
  37. Pringsheim: Vorlesungen … Band I.3, S. 818–819.
  38. Sierpiński: S. 336–337.
  39. Sergey Khrushchev, Michael Tyaglov: Periods of Negative-regular Continued Fractions. Rational numbers.
  40. Sierpiński: S. 337–338.
  41. Lorentzen, Waadeland: S. 562.
  42. Perron: S. 38 ff.
  43. Jones, Thron: S. 60–146.
  44. Lorentzen, Waadeland: S. 32–36.
  45. Wall: Analytic Theory … Teil I: Convergence Theory, S. 11–157.