Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu, d. h.

für ein Mengensystem .

Definition

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Sei   eine nichtleere Menge und   eine Teilmenge der Potenzmenge von   mit  .

Eine Mengenfunktion   von   in die komplexen Zahlen   heißt komplexes Maß, wenn

 

und für jede disjunkte Familie   mit   und  

 

gilt, wobei die Reihe   absolut konvergieren muss, das heißt  . Letztere Eigenschaft wird auch als  -Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem   eine σ-Algebra, dann ist   immer in   enthalten.

Eigenschaften

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Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

Siehe auch

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Literatur

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  • Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.