KK-Theorie

mathematische Theorie aus dem Bereich der Funktionalanalysis

Die KK-Theorie ist eine mathematische Theorie aus dem Bereich der Funktionalanalysis. Der Name rührt daher, dass sie eine K-Theorie mit zwei Variablen darstellt, die die klassische K-Theorie für C*-Algebren und die Theorie der Erweiterungen von C*-Algebren verallgemeinert. Die KK-Theorie geht auf G. G. Kasparow zurück.[1]

Konstruktionen

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Die unten zu definierenden Gruppen   der KK-Theorie werden von Äquivalenzklassen von Hilbert-C*-Moduln mit einer Zusatzstruktur gebildet und hängen von zwei C*-Algebren   und   ab. Die C*-Algebren tragen eine  -Graduierung und für einige zum Teil sehr technische Konstruktionen sollten alle C*-Algebren, die als erste Variable auftreten, separabel sein und alle C*-Algebren, die als zweite Variable auftreten, σ-unital, was der Einfachheit wegen im Folgenden stets vorausgesetzt sei. Für C*-Algebren ohne Graduierung kann man die triviale Graduierung, die durch die Identität als Graduierungsautomorphismus erzeugt wird, unterstellen; dann erhält man Aussagen für nicht-graduierte C*-Algebren.

Kasparow-Moduln

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Ein Kasparow-A-B-Modul ist ein Tripel   bestehend aus

  • einem abzählbar erzeugten, graduierten Hilbert- -Rechtsmodul  ,
  • einem graduierten *-Homomorphismus  , wobei   die C*-Algebra der  -linearen Operatoren auf   mit der von   herrührenden Graduierung ist (siehe Hilbert-C*-Modul),
  • einem Operator   mit folgenden Eigenschaften
    •  , das heißt   ist homogen vom Grad 1,
    •   für alle  ,
    •   für alle  ,
    •   für alle  .

Dabei bezeichnet   den graduierten Kommutator und   das zweiseitige Ideal der „kompakten“ Operatoren in  . Der Buchstabe   für den Operator soll an Fredholm-Operator erinnern. Beachte, dass   durch   zu einem A-B-Bimodul wird.[2][3]

Betrachtet man die Elemente aus   als „klein“ gegenüber den allgemeineren aus  , so wie man manchmal einen echten kompakten Operator als „kleine“ Störung eines Hilbertraum-Operators auffasst, so sagen die Bedingungen an  , dass die Größen   „klein“ sein sollen. Sind diese Größen sogar 0, so nennt man den Kasparow-Modul degeneriert. Der triviale Modul   ist ein degenerierter Kasparow-A-B-Modul; beachte, dass hierbei höchst unterschiedliche Objekte mit 0 bezeichnet sind.

Im Folgenden sei   die Klasse der Kasparow-A-B-Moduln. Wir werden eine Addition und eine geeignete Äquivalenzrelation auf   definieren, die die Menge der Äquivalenzklassen zu einer Gruppe macht. Das werden die KK-Gruppen sein.

Direkte Summe

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Die Addition in den KK-Gruppen wird mittels der direkten Summe definiert werden, daher beschreiben wir kurz die direkte Summe endlich vieler Kasparow-Moduln. Seien   Kasparow-A-B-Moduln. Wir definieren die direkte Summe

 

durch

  mit Graduierung  , wobei   die Graduierungen auf den   seien.

 

 

Man überprüft, dass das Tripel   wieder ein Kasparow-A-B-Modul ist, den man die direkte Summe der   nennt.

Zur angekündigten Definition der Äquivalenzrelation auf   benötigen wir die folgende als Pushout bezeichnete Konstruktion. Es sei   ein Kasparow-A-B-Modul und   ein surjektiver *-Homomorphismus. Dann kann man zeigen, dass es zu jedem Operator   genau einen Operator   gibt mit  , wobei   das Pushout des Hilbert-B-Moduls   bezüglich   ist und   die Quotientenabbildung. Dann definiert   einen *-Homomorphismus   und

 

ist ein Kasparow-A-C-Modul, den man das Pushout von   bezüglich   nennt.[4]

Äquivalenzrelationen

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Ähnlich wie in der K-Theorie, in der die direkte Summe eine Verknüpfung auf geeigneten Äquivalenzklassen definiert, werden wir hier vorgehen. Es ist üblich, mehrere Äquivalenzrelationen zu definieren, von denen dann gezeigt wird, dass sie unter geeigneten Abzählbarkeitsvoraussetzungen an die C*-Algebren, die wir wie oben erwähnt generell voraussetzen, zusammenfallen. Wir werden uns hier nur einer dieser Äquivalenzrelationen, der sogenannten Homotopie-Relation, zuwenden und erwähnen an dieser Stelle nur, dass man Teile der Theorie parallel für mehrere Äquivalenzrelationen entwickelt, um dann später Gleichheit zeigen zu können. Da wir nur Ergebnisse darstellen wollen, werden wir diesen Weg hier nicht nachzeichnen.

Zur Definition der Homotopie-Relation benötigen wir zunächst die feinere unitäre Äquivalenz. Zwei Kasparow-A-B-Moduln   und   heißen unitär äquivalent, in Zeichen  , wenn es einen Operator   gibt, der eine unitäre Äquivalenz der graduierten Hilbert-C*-Moduln vermittelt, so dass

  •   für alle  
  •  

Für eine graduierte C*-Algebra   sei   die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall   mit Werten in  . Diese ist mit der von   induzierten Graduierung wieder eine graduierte C*-Algebra. Die Auswertungen   sind surjektive *-Homomorphismen, mit denen daher Pushouts gebildet werden können. Man schreibt nun  , falls es einen Kasparow-A-C([0,1],B)-Modul   mit   und  .

Schließlich nennt man   und   homotop, in Zeichen  , falls es endlich viel Kasparow-A-B-Moduln   gibt mit

 .

Man zeigt, dass   eine Äquivalenzrelation auf der Klasse   der Kasparow-A-B-Moduln ist. Die Äquivalenzklasse eines Kasparow-Moduls   wird mit   bezeichnet.[5]

Die KK-Gruppen

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Definition

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Es seien   und   C*-Algebren. Dann sei

 

die Menge der Äquivalenzklassen der Kasparow-A-B-Moduln. Da die abzählbar erzeugten Hilbert-B-Moduln nach dem Stabilisierungssatz von Kasparow bis auf unitäre Äquivalenz als Untermoduln von   aufgefasst werden können, liegt hier tatsächlich eine Menge vor. Man kann zeigen, dass die direkte Summe eine Addition

 

definiert, die   zu einer abelschen Gruppe macht.[6]

Das Nullelement ist die Klasse der degenerierten Kasparow-Moduln. Wir beschreiben kurz die Inversenbildung in dieser Gruppe. Es ist

 .

Dabei ist   der Hilbert- -Modul   mit der entgegengesetzten Graduierung, das heißt die Moduln haben dieselben homogenen Elemente, lediglich die Grade dieser homogenen Elemente des einen sind gegenüber den Graden der homogenen Elemente des anderen um 1 modulo   verschoben. Weiter ist  , wobei die   homogene Elemente vom Grad   aus   seien.

Schließlich sei

 .

Dabei ist   das graduierte Tensorprodukt aus   und  , wobei diese zweidimensionale C*-Algebra die durch   definierte Graduierung trage. Zum besseren Verständnis dieses Tensorproduktes sei   der Graduierungsautomorphismus auf   und   sei derjenige Homomorphismus, der 0 auf die Identität und 1 auf   abbildet. Dann ist   ein C*-dynamisches System und das graduierte Tensorprodukt   ist isomorph zum Kreuzprodukt   dieses C*-dynamischen Systems.

Tensorprodukte mit C*-Algebren

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Es seien   ein Kasparaow-A-B-Modul   eine weitere, separable, graduierte C*-Algebra. Dann ist   ein graduierter Hilbert-D-Modul und man kann den Hilbert-B⊗D-Modul  , das äußere, graduierte Tensorprodukt der beiden Hilbert-C*-Moduln, bilden.   ist dann ein *-Homomorphismus   und   ein Operator, der   zu einem Kasparow-A⊗D-B⊗D-Modul macht. Auf diese Weise erhalten wir einen Homomorphismus

 .

Bott-Periodizität

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Man schreibt die Gruppe   auch als  . Indem man die Bildung des graduierten Tensorproduktes mit   iteriert, könnte man auch höhere KK-Gruppen definieren:

 

aber das erweist sich als unnötig, denn man kann zeigen, dass

 .[7]

Dies nennt man die formale Bott-Periodizität, weil es sich ähnlich wie die Bott-Periodizität der K-Theorie verhält. Die formale Bott-Periodizität lässt sich im Wesentlichen auf die Beziehung   zurückführen und ist damit wesentlich einfacher als die echte Bott-Periodizität, die Einhängungen verwendet. Aber auch diese echte Bott-Periodizität lässt sich in der KK-Theorie beweisen.

Ist   eine C*-Algebra, so bezeichne   die Einhängung von  , das heißt die C*-Algebra aller stetigen Funktionen  , die im Unendlichen verschwinden. Dann gilt[8]

  •  ,
  •  
 .

Alternative Beschreibung von KK1(A,B)

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Wir definieren hier sogenannte KK1-Zykel und zeigen, wie mittels einer geeigneten Äquivalenzrelation solche Zykel zu einer alternativen Beschreibung von   für trivial graduierte C*-Algebren herangezogen werden können.

Ein KK1-Zykel ist ein Paar   bestehend aus einem Element   und einem *-Homomorphismus  , so dass

  für alle  

Es sei   die Menge solcher KK1-Zykel. Zwei KK1-Zykel   und   heißen homomtop, falls es   gibt mit

 ,

wobei   die Auswertungsabbildung im Punkt   sei und   deren eindeutige strikt-stetige Fortsetzung auf die Multiplikatorenalgebren. Diese mit   bezeichnete Relation ist eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen wir mit eckigen Klammern schreiben.

Auf   hat man die durch

 

definierte Addition, wobei   eine unitäre Isomorphie   bezeichne.

Wir beschreiben nun einen Isomorphismus von   nach  . Dazu sei   und   der durch   definierte Isomorphismus. Für einen KK1-Zykel   setze

 .

Dann ist   und

 

ist ein Isomorphismus.[9] Damit ist   unabhängig von der formalen Bott-Periodizität beschrieben.

Beispiele

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Homomorphismen

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Ist   ein graduierter *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren, so ist   ein Kasparow-A-B-Modul. Beachte dazu die oben vereinbarte Voraussetzung, dass    -unital ist; damit ist   als Hilbert- -Modul (mit trivialer Graduierung) tatsächlich abzählbar erzeugt. Die Äquivalenzklasse   wird oft nur mit   bezeichnet. Die Elemente   werden beim weiter unten zu besprechenden Kasparow-Produkt die Rolle von Identitäten einnehmen.

KK(ℂ,ℂ)

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Es seien   mit Graduierung   und   der *-Homomorphismus mit  . Weiter sei   die Quotientenabbildung in die Calkin-Algebra. Sei   ein Operator, so dass   unitär ist. Dann ist

 .

Da   unitär ist, ist   ein Fredholm-Operator, und man kann zeigen, dass

 

ein Gruppenisomorphismus ist, wobei index den Fredholm-Index bezeichnet.

K-Gruppen

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Wir zeigen hier, wie die K-Gruppen einer C*-Algebra   (mit trivialer Graduierung) in der KK-Theorie wieder auftauchen.[10]

Es sei   ein unitäres Element der äußeren Multiplikatorenalgebra der C*-Algebra  , das heißt aus dem Quotienten der Multiplikatorenalgebra des Tensorproduktes aus   und der C*-Algebra   der kompakten Operatoren über einem separablen Hilbertraum nach diesem Tensorprodukt. Sei   eine Liftung von  , das heißt  . Dann ist

 .

Beachte dabei, dass   und daher die dritte Komponente des angegebenen Elementes tatsächlich aus   ist und offenbar den Grad 1 hat.   ist der *-Homomorphismus mit  . Dann kann man zeigen, dass die Zuordnung

 

ein Gruppenisomorphismus ist. Wie im Artikel über Multiplikatorenalgebren ausgeführt, hat man auch einen natürlichen Isomorphismus  , so dass man insgesamt einen Isomorphismus   erhält.

Entweder durch ähnliche Überlegungen oder unter Verwendung der oben vorgestellten Bott-Periodizität kommt man auch zu einem Isomorphismus  , so dass man insgesamt zu folgender leicht einprägsamer Formel gelangt:

 .

Erweiterungen

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Unter Verwendung der oben vorgestellten alternativen Beschreibung von   mittels KK1-Zykeln lässt sich ein Isomorphismus   konstruieren, wobei ersteres die Gruppe der invertierbaren Elemente in Ext(A,B) bezeichne. Wie im Artikel über Erweiterungen von C*-Algebren ausgeführt, gehören zur Busby-Invariante   eines invertierbaren Elementes ein Homomorphismus   und eine Projektion   mit  . Dann ist   ein KK1-Zykel und wir erhalten einen Gruppenisomorphismus

 .[11]

Funktorialität

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Die Zuordnung zweier C*-Algebren zu ihrer KK-Gruppe kann zu einem Funktor ausgebaut werden, wenn man jeweils eine C*-Algebra fixiert. Diese Funktoren erweisen sich sogar als homotopieinvariant.[12]

Funktorialität in der ersten Komponente

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Sind   ein Kasparow-A-B-Modul und   ein graduierter *-Homomorphismus, so ist   ein Kasparow-C-B-Modul und man erhält einen Gruppenhomomorphismus

 .

Dadurch wird   bei festem   zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der separablen, graduierten C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen. Betrachtet man auf jeder C*-Algebra die triviale Graduierung, so erhalten wir einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der separablen C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Dieser Funktor ist homotopieinvariant, das heißt sind   *-Homomorphismen für  , so dass die Abbildungen   für alle   stetig sind, so ist  .

Funktorialität in der zweiten Komponente

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Sind   ein Kasparow-A-B-Modul und   ein graduierter *-Homomorphismus, so bilde das innere Tensorprodukt  . Dieses ist ein Hilbert- -Modul und   ist ein *-Homomorphismus  . Durch diese Definition erhält man einen Gruppenhomomorphismus

 .

Dadurch wird   bei festem   zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie der  -unitalen, graduierten C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen. Betrachtet man auf jeder C*-Algebra die triviale Graduierung, so erhalten wir einen kovarianten Funktor von der Kategorie der  -unitalen C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Dieser Funktor ist homotopieinvariant, das heißt sind   *-Homomorphismen für  , so dass die Abbildungen   für alle   stetig sind, so ist  .

Das Kasparow-Produkt

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Konstruktion und Eigenschaften

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Das Kasparow-Produkt ist eine Abbildung

 

das in den Anwendungen ein mächtiges Werkzeug darstellt. Sowohl die Konstruktion, die unten nur angedeutet werden kann, als auch der Nachweis der unten aufgelisteten Eigenschaften erfordern einen hohen technischen Aufwand.[13]

Zur Konstruktion seien   und  . Dann ist das graduierte, innere Tensorprodukt   ein Hilbert- -Modul und   ist ein *-Homomorphismus  . Mit hohem technischen Aufwand kann man einen geeigneten Operator   konstruieren und so ein Element   definieren, das man das Kasparaow-Produkt der beiden Elemente aus   und   nennt, und das folgende Eigenschaften hat:[14]

  •  
für  
  •  
für   *-Homomorphismus
  •  
für   *-Homomorphismus
  •  
für   *-Homomorphismus
  •  
für  
  •      
für  
  •  
für  
  •  
für   *-Homomorphismus
  •  
für   *-Homomorphismus.

Insbesondere ist   für jede separable C*-Algebra ein Ring mit Einselement  . Der oben vorgestellte Gruppenisomorphismus   erweist sich als Ringisomorphismus. Ist   eine AF-C*-Algebra, so ist   isomorph zum Endomorphismenring der Gruppe  .

Erweitertes Kasparow-Produkt

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Das Kasparow-Produkt kann wie folgt zu einem Produkt

 

verallgemeinert werden, wobei die auftretenden C*-Algebren die oben vereinbarten Abzählbarkeitsbedingungen erfüllen sollen und das Tensorprodukt stets das graduierte Tensorprodukt sei. Für   und   sind

  und
 ,

so dass man das Kasparow-Produkt  , ein Element in  , bilden kann. Dieses Produkt bezeichnet man wieder mit   und bestätigt, dass es nicht in Konflikt zum bereits definierten Kasparow-Produkt steht, was im Wesentlichen daran liegt, dass   die Identität ist. Insgesamt erhalten wir so die angekündigte, bilineare Abbildung

 .[15]

Für   erhält man das bereits bekannte Kasparow-Produkt zurück, denn das Tensorieren mit   führt zu isomorphen C*-Algebren und   ist die Identität. In diesem Sinne stellt obiges Produkt eine Verallgemeinerung des zuvor eingeführten Kasparow-Produkts dar.

Als wichtigen Spezialfall wollen wir das Tensorieren mit   behandeln, denn das führt nach obiger Definition zu KK1-Gruppen. Ist speziell   und  , so kann man beim Auftreten des Tensorproduktes mit   zur KK1-Gruppe übergehen und das Tensorieren mit   fortlassen. Aus obigem erhält man daher eine bilineare Abbildung

 .

Man kann also Elemente aus   von links mit Elementen aus   multiplizieren und erhält ein Element aus  .

Indem man analog   und   beziehungsweise   setzt, erhält man bilineare Abbildungen

 

und

 ,

wobei für die letzte Abbildung noch die formale Bott-Periodizität verwendet wurde.

Zyklische, 6-gliedrige, exakte Sequenzen

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Die aus der K-Theorie bekannten zyklischen, 6-gliedrigen, exakten Sequenzen können auch in der KK-Theorie bewiesen werden. Wir gehen von einer kurzen, exakten Sequenz

 

aus, die aus einem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal   in einer C*-Algebra mit Einselement entsteht und von der wir voraussetzen wollen, dass sie semi-spaltend ist. Dann ist diese Sequenz eine invertierbare Erweiterung und bestimmt daher nach obigem ein Element  . Die durch das Kasparow-Produkt definierte Multiplikation mit   definiert für eine weitere C*-Algebra   Homomorphismen

 ,
 ,
 ,
 ,

die sämtlich mit   bezeichnet seien. Dann bestehen die folgenden zyklischen, exakten Sequenzen:[16]

 

und

 

Derartige Sequenzen sind bei der Berechnung von KK-Gruppen oft hilfreich, insbesondere wenn ein oder zwei Glieder einer solchen Sequenz 0 sind, denn dann können einige Abbildungen mittels Exaktheit als injektiv, surjektiv oder sogar als bijektiv nachgewiesen werden.

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Einzelnachweise

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  1. G. G. Kasparow: The operator K-functor and extensions of C*-algebras, Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat. (1980), Band 44, Seiten 571–636
  2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 17.1.1
  3. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 2.1.1.
  4. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 2.1.5.: Pushout
  5. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 2.1.9 + Lemma 2.1.12
  6. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 17.3.3
  7. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 17.8.9
  8. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 19.2.2
  9. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Satz 3.3.6
  10. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 17.5.5
  11. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Korollar 3.3.11
  12. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, 17.8: Functoriality, 17.9: Homotopy Invariance
  13. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Kapitel 2.2: The Kasparov-Product
  14. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Sätze 18.4.4, 18.6.1, 18.7.1, 18.7.2
  15. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 18.9.1
  16. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 19.5.7