Der James-Raum, benannt nach Robert C. James und eingeführt 1951, ist ein in der Mathematik betrachteter, spezieller Vektorraum. Es handelt sich um einen Banachraum, der isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum ist, ohne reflexiv zu sein.[1] Lange Zeit ist diese Eigenschaft für unmöglich gehalten worden. Der James-Raum kann auch zur Konstruktion weiterer Beispiele herangezogen werden.

Definition

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Als Menge ist der James-Raum   im Folgenraum   der reellen Nullfolgen enthalten. Für eine Folge   definiere   als Maß für die Variation der Folgenglieder durch

 

Das Supremum wird dabei über alle natürlichen Zahlen   und alle streng aufsteigenden Folgen   natürlicher Zahlen gebildet. Schließlich sei

 

  ist damit die Menge der reellen Nullfolgen  , deren Schwankung im Sinne der Zahl   beschränkt ist. So liegt zum Beispiel die Folge   nicht in  .

Man kann zeigen, dass   ein Vektorraum bzgl. der komponentenweisen Operationen ist und dass   eine Norm ist, die   zu einem Banachraum macht. Das ist der sogenannte James-Raum.

Basis in J

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Sei   der  -te Einheitsvektor in  , das heißt  , wobei die 1 an der  -ten Stelle steht. Man kann zeigen, dass   eine monotone, schrumpfende Basis in   ist und daher   gilt.

Bidualraum

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Ausgehend von den Eigenschaften der Basis   kann man zeigen, dass die kanonische Einbettung   in den Bidualraum nicht surjektiv ist, genauer ist die Kodimension von   in   gleich 1, das heißt  .[2]

  ist daher nicht reflexiv. Dennoch gelingt es, einen isometrischen Isomorphismus zwischen   und   zu konstruieren. Die Beweise sind sehr technisch und werden daher hier nicht weiter besprochen.

Gegenbeispiele

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Der James-Raum kann zur Konstruktion einer Reihe von Gegenbeispielen verwendet werden. Obige Betrachtung zeigt, dass ein Banachraum, der isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum ist, nicht notwendig reflexiv ist, was eine ältere Vermutung widerlegt.

Viele unendlich-dimensionale Banachräume   haben die Eigenschaft  . Alle unendlich-dimensionalen Hilberträume haben diese Eigenschaft, denn nach dem Satz von Fischer-Riesz sind diese isomorph zu   für unendliches  , und es ist  . Auch für den Folgenraum   sieht man leicht, dass   ein isometrischer Isomorphismus   ist.

Für den James-Raum gilt das nicht, denn man kann zeigen, dass im Falle   auch   gelten müsste, was aber offensichtlich nicht der Fall ist.

Aus einem  -Banachraum   kann man durch Einschränkung der Skalarmultiplikation auf   einen reellen Vektorraum   machen.   ist ein Beispiel für einen reellen Banachraum, der nicht isomorph zu einem   für einen komplexen Banachraum   ist. Wäre nämlich  , so könnte auch   nicht reflexiv sein,   hätte also mindestens die komplexe Kodimension 1 und daher die reelle Kodimension 2 in  , aber die reelle Kodimension von   im Bidual ist 1.

Der James-Raum ist auch ein Beispiel für einen Banachraum mit einer Schauderbasis, der keine unbedingte Basis besitzt. Dass J keine unbedingte Basis besitzt, folgt aus der Tatsache, dass der Bidualraum eines unendlich-dimensionalen Banachraums mit unbedingter Basis nicht separabel ist,   aber ist separabel, da   es ist und   1-kodimensional in   ist.

Einzelnachweise

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  1. James A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space, Proceedings National Academy of Sciences, Bd. 37, 1951, S. 174–177, Online, PDF-Datei
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory, Springer New York (1998), ISBN 0-387-98431-3, Kapitel 4.5 - James Space