Jacobi-Koordinaten

Koordinatensystem zur Verwendung mit n-Körpersystemen

Die Jacobi-Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n-Körpersysteme in der Physik. Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen verwendet.[1]

Jacobi-Koordinaten veranschaulicht für vier Körper. Hellblau sind jeweils die virtuellen Massen eingezeichnet. Die Jacobi-Koordinaten sind r1, r2, r3 und R.

Jacobi-Koordinaten für N Teilchen

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Der Algorithmus zum Erhalt der Jacobi-Koordinaten lässt sich wie folgt beschreiben:
Man betrachtet zwei der   Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt  , ihre Gesamtmasse   und die relative Position zueinander  . Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse   am Ort  . Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi-Koordinate dar:  . Dies wiederholt man nun für die   anderen Teilchen, sowie das neue virtuelle Teilchen. Nach   derartigen Schritten erhält man die Jacobi-Koordinaten als   und   vom letzten Schritt.

In Formeln ergeben sich die Jacobi-Koordinaten zu

 

mit

 [2]

Dabei ist   die Gesamtmasse des Systems. Die letzte Jacobi-Koordinate   entspricht dem Schwerpunkt des Systems. Die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnen sich als

 

zu

 [2]

Verwendung

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In der Himmelsmechanik ermöglichen die Jacobi-Koordinaten, die Hamilton-Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten. Diese nutzten Wisdom und Holman 1991[3] zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit, welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und Duncan[4] weite Verbreitung fand.

Einzelnachweise

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  1. John Z. H. Zhang, Theory and application of quantum molecular dynamics, World Scientific 1999, S. 104.
  2. a b Patrick Cornille: Advanced electromagnetism and vacuum physics. World Scientific, 2003, ISBN 981-238-367-0, Partition of forces using Jacobi coordinates, S. 102 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. J. Wisdom, M. J. Holman: Symplectic maps for the n-body problem. The Astronomical Journal 102, 1991, S. 1528–1538, doi:10.1086/115978.
  4. H. F. Levison, M. J. Duncan: The long-term dynamical behavior of short-period comets. Icarus 108, 1994, S. 18–36, doi:10.1006/icar.1994.1039.