Die Isomorphie von Kategorien ist eine Beziehung, die im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie zwischen zwei Kategorien bestehen kann. Zwei isomorphe Kategorien sind als im Wesentlichen dieselben anzusehen. Dieser Begriff erweist sich als sehr restriktiv und hat daher bei Weitem nicht die Bedeutung wie die Äquivalenz von Kategorien.

Definition

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Betrachtet man Funktoren als die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Kategorien, so ist folgende Definition naheliegend.

Ein Isomorphismus zwischen zwei Kategorien   und   ist ein Funktor  , zu dem es einen weiteren Funktor   gibt, so dass   und  , wobei   und   die identischen Funktoren auf   bzw.   seien.

Zwei Kategorien   und   heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus   gibt. Man schreibt in diesem Fall  .[1][2]

Eigenschaften

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Ist   ein Isomorphismus zwischen Kategorien   und  , so ist der zugehörige Funktor   aus obiger Definition eindeutig bestimmt. Wäre   ein zweiter Funktor, der obige Definition erfüllt, so wäre

 .

Man nennt daher   den zu   inversen Funktor und schreibt  

Da es keine Klasse aller Kategorien gibt, denn eine Kategorie, die keine Menge ist, kann nicht Element von irgendetwas sein, ist die Isomorphie streng genommen keine Äquivalenzrelation, denn sie ist nicht auf einer Klasse definiert. Die Isomorphie erfüllt aber die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation, das heißt:

  • Für jede Kategorie   gilt  , der Funktor   vermittelt offenbar diese Isomorphie.
  • Sind   und   Kategorien und ist   so ist auch  . Ist nämlich   ein Isomorphismus, so ist offenbar auch   ein Isomorphismus.
  • Sind  ,   und   Kategorien und ist   und  , so ist auch  . Das folgt aus der offensichtlichen Eigenschaft, dass die Verkettung zweier Isomorphismen wieder ein Isomorphismus ist.

Diese Eigenschaften rechtfertigen es, die Isomorphie eine Äquivalenzrelation auf der Quasikategorie aller Kategorien zu nennen.

Beispiele

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  • Jede Kategorie   ist mittels des Funktors   zu sich selbst isomorph.[3]
  • In der Kategorie der Ringe ist der Endofunktor, der jeden Ring auf seinen Gegenring schickt und alle Ringhomomorphismen beibehält, ein Isomorphismus.[3]
  • Die Kategorie   der abelschen Gruppen ist isomorph zur Kategorie der   der  -Moduln. Ist   eine abelsche Gruppe, so sei   der  -Modul, der durch die Moduloperation
 ,    ,    ,    ,   neutrales Element
definiert ist. Da auch Gruppenhomomorphismen und  -lineare Abbildungen einander entsprechen, liegt ein Isomorphismus   vor.[3]
  • Seien   die Kategorie der Mengen und   die Kategorie der diskreten topologischen Räumen. Indem man jeder Menge   den topologischen Raum   zuordnet, wobei   die Potenzmenge von   sei, und da Abbildungen zwischen zwei Mengen automatisch stetig sind als Abbildungen zwischen den entsprechenden diskreten Räumen, erhält man eine Isomorphie  .[4]

Charakterisierung

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Für einen Funktor   sind äquivalent:

  •   ist ein Isomorphismus.
  • Die Abbildung  , das heißt der Funktor eingeschränkt auf die Morphismen der Kategorie, ist bijektiv.
  •   ist volltreu und die Abbildung  , das heißt der Funktor eingeschränkt auf die Objekte der Kategorie, ist bijektiv.[5]

Bemerkung

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Der Begriff der Isomorphie zwischen Kategorien ist sehr restriktiv, da durch die Forderung   jedes Objekt   tatsächlich gleich   sein muss. Für die meisten Anwendungen ausreichend und zudem viel häufiger anzutreffen ist die Situation, in der   und   nur isomorph sind. Das führt auf den Begriff der Äquivalenz von Kategorien.

Einzelnachweise

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  1. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 14.1
  2. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 3.3.4
  3. a b c Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 14.2
  4. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 3.3.6
  5. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 14.2