In der Mathematik sind Herman-Ringe (auch Arnold-Herman-Ringe) ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um ringförmige Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

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Herman-Ringe der Abbildung  , wobei   so gewählt wurde, dass die Rotationszahl von   auf dem Einheitskreis   beträgt.

Sei   eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.

Eine Zusammenhangskomponente   der Fatou-Menge   heißt Herman-Ring, wenn es eine biholomorphe Abbildung

 

auf ein Ringgebiet

 

mit   gibt, so dass   eine irrationale Drehung, also

 

für ein   ist.

Geschichte

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Nach Fatous Klassifikation invarianter Komponenten der Fatou-Menge für die Iteration einer rationalen Funktion   müssen diese entweder Attraktionsgebiete, parabolische Gebiete oder Rotationsgebiete sein. Rotationsgebiete sind mit heutigen Bezeichnungen entweder Siegel-Scheiben oder Herman-Ringe. Die Existenz von Siegel-Scheiben wurde 1942 von Siegel bewiesen, während die Existenz von Herman-Ringen lange offen war und erst 1979 von Herman (mit Hilfe eines Satzes von Arnold über die Lösbarkeit einer gewissen Funktionalgleichung) bewiesen wurde.

Literatur

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  • Michael Herman: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publications Mathématiques de l’IHÉS 49, 5–233 (1979)
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