Das Höhenfußpunktdreieck[1] (seltener: orthisches Dreieck[2]) ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie. Es entsteht dadurch, dass die Fußpunkte der drei Höhen (also die Punkte , und , in denen die Lote von den Ecken des Dreiecks auf die gegenüber liegenden Seiten diese Seiten schneiden) miteinander verbunden werden. Im Sonderfall eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Höhenfußpunktdreieck entartet, da dann zwei Fußpunkte zusammenfallen. Das Höhenfußpunktdreieck ist das zum Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) gehörige Fußpunktdreieck.

Höhen­fußpunkt­dreieck mit Höhenfußpunkten Ha, Hb und Hc

Eigenschaften

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Die Höhen des Referenzdreiecks halbieren die Innen- oder Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks
 
Höhen­fußpunkt­dreieck mit Höhenfußpunkten Ha, Hb und Hc, Euler-Geraden ea, eb und ec mit demeinsamen Schnittpunkt P auf dem Feuerbachkreis
  • Jede Höhe des ursprünglichen Dreiecks halbiert entweder einen Innenwinkel oder einen Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Daher stimmt für ein spitzwinkliges Dreieck ABC der Höhenschnittpunkt H dieses Dreiecks mit dem Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks überein. Ist das Dreieck ABC dagegen stumpfwinklig, so ist H gleich einem der Ankreismittelpunkte des Fußpunktdreiecks.[3][4]
  • Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks ist der Feuerbach-Kreis des ursprünglichen Dreiecks.
  • Die Dreiecke  ,   und   sind alle ähnlich zum Referenzdreieck   aber mit unterschiedlicher Orientierung.[4]
  • Die Euler-Geraden der Dreiecke  ,   und   schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, der auf dem Feuerbachkreis des Referenzdreiecks   liegt.[5]
  • Das Tangentendreieck   des Referenzdreiecks   ist ähnlich zu dem Höhenfußpunktdreieck   und die entsprechenden Dreiecksseiten sind parallel, das heißt  ,   und  .[5]
  • Fagnano-Problem: Unter allen Dreiecken, die einem spitzwinkligen Dreieck einbeschrieben sind, hat das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang.[6]

Siehe auch

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Literatur

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Commons: Höhenfußpunktdreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 168.
  2. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 65 (Auszug (Google))
  3. Boris Pritsker: Geometrical Kaleidoscope. Dover, 2017, ISBN 978-0-486-81241-0, S. 24–34
  4. a b Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. Springer, 2012, S. 86 (Auszug (Google))
  5. a b Eric W. Weisstein: Orthic Triangle. In: MathWorld (englisch).
  6. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 81–82 (Auszug (Google))