Gronwallsche Ungleichung

mathematischer Satz

Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

Formulierung

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Gegeben seien ein Intervall   sowie stetige Funktionen   und  . Weiter gelte die Integralungleichung

 

für alle  . Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

 

für alle  .

Man beachte, dass die Funktion   in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für  .

Spezialfall

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Ist   monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu

 

Insbesondere im Fall konstanter Funktionen   und   lautet die gronwallsche Ungleichung

 

Anwendungen

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Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme

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Es sei  ,  ,   und   stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem   genau eine Lösung  .

Linear beschränkte Differentialgleichungen

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Seien  ,  ,  ,   und   stetig. Weiter gebe es Funktionen   derart, dass

 

für alle  . Dann ist jede Lösung   von

 

auf   beschränkt.

Es gilt

 

Die gronwallsche Ungleichung impliziert

 

und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:

 

Literatur

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Wikibooks: Beweis der gronwallschen Ungleichung – Lern- und Lehrmaterialien