Gravitationsfeld

Gradientenfeld des Gravitationspotenzials

In der klassischen Mechanik ist das Gravitationsfeld (auch Schwerkraftfeld) das Kraftfeld, das durch die Gravitation von Massen hervorgerufen wird. Die Feldstärke des Gravitationsfeldes gibt für jeden Ort den durch Gravitation verursachten Teil der Fallbeschleunigung an. Sie kann mithilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden.

Die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als Krümmung der Raumzeit. In rotierenden Bezugssystemen, wie dem mit der Erde verbundenen, besteht das Schwerefeld aus dem Gravitationsfeld und der Zentrifugalbeschleunigung. Ein anschauliches Modell des Gravitationsfeldes ist der Potentialtrichter, in dem Kugeln oder Münzen auf einer dreidimensionalen Trichterfläche rollen und dabei die Bewegung in der zur Trichterachse senkrechten Ebene simulieren.[1]

Potential und Feld

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Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.

Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt Gravitationspotential. Sein Wert   am Ort   lässt sich bei bekannter Massendichte   durch Lösen der Poisson-Gleichung bestimmen

 ,

wobei   die Gravitationskonstante und   der Laplace-Operator ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse   beispielsweise

 .

Hierbei ist   das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt.

Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers  , so erhält man seine potentielle Energie

 .

Das Gravitationsfeld   lässt sich als Gradientenfeld des Gravitationspotentials   schreiben:

 .

Die vom Feld erzeugte Kraft   auf einen Körper der Masse   ist dann

 .

Feldstärke

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Die Feldstärke des Gravitationsfeldes heißt Gravitationsfeldstärke oder Gravitationsbeschleunigung  . Sie ist unabhängig von der Probemasse (also der Masse des betrachteten Körpers, der sich im Gravitationsfeld befindet). Wirken keine weiteren Kräfte, so ist   die exakte Beschleunigung einer Probemasse im Feld.

Eine Punktmasse   verursacht das Potential

 

und daher das dazugehörige radialsymmetrische Feld mit der Feldstärke

 

Diese Formel gilt auch für kugelsymmetrische Körper, wenn der Abstand   vom Mittelpunkt größer ist als sein Radius. Sie gilt näherungsweise für jeden beliebig geformten Körper, wenn   um Größenordnungen größer als seine Ausdehnung ist. Befindet sich eine Probemasse   in diesem Gravitationsfeld, so ergibt sich

 .

Dies entspricht dem Newtonschen Gravitationsgesetz, das den Betrag der wirkenden anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten von   und   angibt, die sich im Abstand   befinden.

Da jede beliebig ausgedehnte Masse in (annähernd) punktförmige Teilmassen zerlegt werden kann, lässt sich jedes Gravitationsfeld auch als Summe über viele Punktmassen darstellen:

 

wobei   die Orte der Punktmassen   sind. Für kontinuierliche Masseverteilungen gilt:

 

wobei   die Massendichteverteilung ist.

Gravitative Bindungsenergie

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Um einen durch Gravitation zusammengehaltenen Körper (z. B. die Erde) in seine Bestandteile zu zerlegen und diese trotz der Gravitationskraft zwischen ihnen unendlich weit voneinander zu entfernen, ist eine bestimmte Energiemenge nötig. Umgekehrt wird die gleiche Energiemenge freigesetzt, wenn sich diese Bestandteile (beispielsweise beim Kollaps einer Gaswolke) zu einem kompakteren Himmelskörper, etwa einem Stern oder einem Planeten zusammenfügen.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Olaf Fischer: Planeten- und Kometenbewegung im Modell vom Potentialtrichter. In: Wissenschaft in die Schulen! Spektrum, 31. Juli 2019, abgerufen am 29. Oktober 2019.