Gradientensystem

System gewöhnlicher Differentialgleichungen, dessen rechte Seite sich als (negativer) Gradient einer Funktion schreiben lässt

In der Mathematik ist ein Gradientensystem ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, dessen rechte Seite sich als (negativer) Gradient einer Funktion schreiben lässt. Der Fluss eines Gradientensystems wird als Gradientenfluss bezeichnet.

Gradientensysteme werden in der Mathematik zum Beispiel in der Morse-Theorie verwendet. Sie haben in vieler Hinsicht entgegengesetzte Eigenschaften zu hamiltonschen Systemen, zum Beispiel sind sie nicht rekurrent.

Definition

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Ein auf einer offenen Menge   definiertes Differentialgleichungssystem   heißt Gradientensystem, wenn sich die rechte Seite als (negativer) Gradient schreiben lässt, das Differentialgleichungssystem also von der Form

 

für eine differenzierbare Funktion   ist. Es soll also für   gelten:  .

Nach dem Poincaré-Lemma ist das äquivalent dazu, dass für   die Bedingung   gilt.

Allgemeiner kann man auch Gradientensysteme auf riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren.

Eigenschaften

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Die Lösungen eines Gradientensystems   haben die folgenden Eigenschaften:

Literatur

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