Gemeinlot

Minimaltransversalen zweier im Raum verlaufender windschiefer Geraden

Das Gemeinlot ist ein Begriff aus der Mathematik insbesondere aus der analytischen Geometrie. Der Begriff bezeichnet den Abstand zweier zueinander windschiefer Geraden. Man spricht auch vom gemeinsamen Lot der beiden Geraden. Die Strecke, die das Gemeinlot beschreibt, liegt auf der Minimaltransversalen der Geraden.

Sei die Gerade auf der Ebene und Ebene weiters die Ebene parallel zur Geraden , dann ist das Gemeinlot der Geraden und .

Definition

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Das Gemeinlot ist die Strecke, deren Endpunkte jeweils auf einer der beiden windschiefen Geraden liegen und die senkrecht zu beiden Geraden verläuft. Ihre Länge kennzeichnet den kürzesten Abstand dieser beiden Geraden.[1]

Berechnung

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Das Gemeinlot lässt sich (im dreidimensionalen Fall) mit Methoden der analytischen Geometrie folgendermaßen bestimmen:

Die Geraden   und   seien gegeben durch die Parametergleichungen

 .

Ist   ein Normalenvektor der Richtungsvektoren   und  , beispielsweise das Kreuzprodukt dieser Vektoren, so entspricht der Ansatz

 

einem linearen Gleichungssystem, das sich nach  ,   und   auflösen lässt. Einsetzen dieser Parameterwerte in die Gleichungen der Geraden   und   ergibt die Ortsvektoren der beiden Fußpunkte des Gemeinlotes und damit dessen Gleichung.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Grundwissen Mathematikstudium. Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-8274-2308-5, S. 249.