Ein Funktionenring ist in der Mathematik (genauer der Ringtheorie) ein spezieller Ring von Funktionen. Diese spielen eine große Rolle in der abstrakten Algebra, Topologie, sowie zahlreichen Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaften.

Definition

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Sei   ein Ring,   eine nichtleere Menge und

 

die Menge aller auf   definierten Funktionen mit Werten in  . Dann sind durch

 
 

Verknüpfungen erklärt, mit denen   zu einem Ring wird, dem sogenannten Ring der Funktionen.

Wichtige Eigenschaften

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  • Der Ring   "ererbt" gewisse Eigenschaften von  , wie etwa die Kommutativität und das Einselement. Andere Eigenschaften, wie beispielsweise Nullteilerfreiheit, werden nicht "vererbt".
  • Die Menge der konstanten Funktionen bildet einen zu   isomorphen Unterring von  . Damit kann   als Teilring von   betrachtet werden.

Beispiele

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  • Wählt man als   die Menge der reellen Zahlen   mit den üblichen Addition und Multiplikation und als   eine offene Teilmenge von  , so kann man von stetigen beziehungsweise differenzierbaren Funktionen sprechen. In diesem Falle sind die Mengen   und   Unterringe von  . Dabei ist   ein Unterring von  .

Auswertungshomomorphismus

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Für ein festes   ist die Abbildung

 
 

ein Ringhomomorphismus. Man bezeichnet ihn als Auswertungshomomorphismus oder auch einfach als die Auswertung an der Stelle  .

Literatur

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