In der Kristallographie bilden fraktionelle Koordinaten ein Koordinatensystem, bei dem die Kanten einer Einheitszelle als Basisvektoren verwendet werden, um die Position von Atomen darzustellen.

Eine Einheitszelle ist ein Parallelepiped, welches das Kristallgitter erzeugt und über die Längen der drei Kanten a, b, c und die Winkel α, β, γ zwischen je zwei Kanten beschrieben werden kann (siehe Bild).[1]

Definition der Einheitszelle über die Länge der Kanten a, b, c und die Winkel α, β, γ[2]

Umwandlung in kartesische Koordinaten

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Für die Umwandlung von fraktionellen in kartesische Koordinaten nimmt man an, dass das kartesische Koordinatensystem bezüglich der Einheitszelle, bzw. die Einheitszelle bezüglich des kartesischen Koordinatensystems, wie folgt positioniert ist:

  • die Koordinatenursprünge stimmen überein.
  • der Vektor   ist parallel zur x-Achse angeordnet.
  • der Vektor   liegt in der x-y-Ebene.
  • die Lage des Vektors   ergibt sich dann aus den beiden Winkeln α und β, vgl. Bild.

Bezeichnen   die fraktionellen Koordinaten eines Punkts, so berechnen sich die kartesischen Koordinaten   wie folgt:[3][4]

 

Herleitung

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Dabei lassen sich die Elemente der Matrix wie folgt herleiten:

Die erste Spalte entspricht der Definition des Vektors  . Da dieser parallel zur x-Achse ausgerichtet ist, entspricht seine Länge dem Werte des ersten Elements, die anderen beiden sind Null.

 

Für die zweite Spalte ergeben sich über das Skalarprodukt zwischen den Vektoren   und  :

 

und damit:

 

Die ersten beiden Elemente der dritten Spalte ergeben sich über die Skalarprodukte zwischen den Vektoren   und   beziehungsweise   und  , das dritte über die Länge des Vektors mittels Pythagoras:

 
 
 

und damit:

 

Einzelnachweise

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  1. Donald E. Sands: Introduction to Crystallography. Dover Publications, New York 1993, ISBN 0-486-67839-3, S. 7–9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Unit cell definition using parallelepiped with lengths a, b, c and angles between the edges given by α,β,γ Archivlink (Memento vom 4. Oktober 2008 im Internet Archive)
  3. Michael Polyakov: Fractional to Orthonormal Coordinates Conversion Tutorial. Abgerufen am 16. Mai 2015.
  4. Bernhard Rupp: Coordinate system transformation. Abgerufen am 16. Mai 2015.