Fluss eines Vektorfeldes

Bewegung entlang der Lösungskurven

In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.

Definition

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Sei   ein  -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge   (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes   eine eindeutige maximale Lösung

 

der Differentialgleichung

 .

Hierbei ist   das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert   abhängende Kurve mit  .

Sei  . Dann heißt die durch

 

gegebene Abbildung   der Fluss des Vektorfeldes  .

Eigenschaften

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Vektorfeld F(x,y)=(-y,x)

Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also

 

und

 

für alle  .

Beispiel

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Der Fluss des auf dem   definierten Vektorfeldes

 

ist gegeben durch

 .

Vollständige Vektorfelder

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Das Vektorfeld   heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also

 

für alle  , oder äquivalent   ist.

Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

Literatur

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