Feynman-Kac-Formel

Satz in der Wahrscheinlichkeitstheorie mit Anwendung in der Finanzmathematik

Der Satz von Feynman-Kac ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, das z. B. in der Finanzmathematik Anwendung findet. Er verbindet die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Name geht auf Richard Feynman und Mark Kac zurück.

Aussage des Satzes

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Sei zunächst   ein an die Filtration   adaptierter Prozess und Lösung der stochastischen Differentialgleichung

 .

  ist daher ein Itō-Prozess. Sei ferner

 

eine beschränkte, Borel-messbare Funktion und   die an die Information in   bedingte Erwartung ihres Wertes in  . Dann erfüllt   die partielle (nicht-stochastische!) Differentialgleichung

 

mit der Randbedingung  .

Der Beweis verwendet die Martingaleigenschaft der bedingten Erwartung und die Tatsache, dass ein Itō-Prozess (gegeben in  ) genau dann Martingal ist, wenn sein Driftterm verschwindet.

Beispiel

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Zum Beispiel könnte   die Auszahlung eines Finanzinstruments (etwa Call-Option) sein, basierend auf dem Wert von   (etwa eine Aktie). Dann beschreibt   den Preisprozess dieses Instruments.   ist die Ableitung des Preises vom Basiswert, im Fall einer Option ist daher   ihr Delta.   ist im Fall einer Call-Option das Theta.

Literatur

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  • Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6. Auflage, Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-04758-2.
  • John Michael Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, New York 2001, ISBN 0-387-95016-8.