Feine Garbe

Spezielle Garben (Mathematik)

Eine feine Garbe ist ein mathematischer Begriff aus dem Gebiet der algebraischen Topologie und Funktionentheorie. Es handelt sich um eine Garbe mit einer zusätzlichen Eigenschaft. Mit Hilfe solcher Garben kann die Garbenkohomologie auch für allgemeine Garben auf parakompakten Hausdorffräumen berechnet werden.

Definition

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Es seien   ein topologischer Raum und   eine Garbe abelscher Gruppen über  .

Ist   eine lokalendliche, offene Überdeckung von  , so heißt eine Familie   von Garbenmorphismen   eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, falls gilt:

  • Für alle   gibt es eine offene Umgebung   von  , so dass   für alle  , wobei   der Halm über   sei und die auf den Halmen induzierten Morphismen ebenfalls mit   bezeichnet seien.
  •   für alle  .

Man beachte, dass die Summe in obiger Definition wegen der Lokalendlichkeit der Überdeckung stets nur endlich viele von 0 verschiedene Summanden hat uns daher wohldefiniert ist.

Die Garbe   über   heißt fein, wenn es zu jeder lokalendlichen, offenen Überdeckung von   eine untergeordnete Partition der Eins gibt.[1]

Beispiele

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Sätze und Anwendungen

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Da die parakompakten Hausdorffräume definitionsgemäß über hinreichend viele lokalendliche Überdeckungen verfügen, liegt es nahe, dass man auf solchen Räumen starke Sätze über feine Garben beweisen kann.

  • Ist   eine feine Garbe über einem parakompakten Hausdorffraum, so gilt für die Garbenkohomologie   für alle  .[2]

Für   gilt das nicht, denn   ist ja die Gruppe der globalen Schnitte. Dies kann man verwenden, um folgenden Satz zu zeigen

  • Ist   eine Garbe über einem parakompakten Hausdorffraum und
 
eine feine Garbenauflösung, das heißt alle Garben   sind fein und alle Garbenmorphismen   sind exakt, wobei Exaktheit hier für jeden Halm gelten soll, so induziert jedes   eine Abbildung   zwischen den Gruppen der globalen Schnitte, und es gilt[3]
 .

Man kann weiter zeigen, dass es zu jeder Garbe über einem parakompakten Hausdorffraum eine feine Auflösung gibt, so dass obiger Satz im Prinzip stets zur Berechnung von Kohomologiegruppen herangezogen werden kann. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die feine Auflösung

 

der Garbe der holomorphen Funktionen über einem Gebiet  , wobei   der Differentialoperator   sei. Daraus ergibt sich[4]

  •  
  •  
  •   für alle  .

Da nach dem sogenannten Lemma von Dolbeault die Differentialgleichung   für vorgegebene  -Funktionen   auf   in   lösbar ist[5], gilt   und daher sogar   für alle   für Gebiete  .

Einzelnachweise

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  1. Robert C. Gunning: Vorlesungen über Riemannsche Flächen, BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.4: Feine Garben
  2. Robert C. Gunning: Vorlesungen über Riemannsche Flächen, BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.4, Satz 2
  3. Robert C. Gunning: Vorlesungen über Riemannsche Flächen, BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.4, Satz 2
  4. Robert C. Gunning: Vorlesungen über Riemannsche Flächen, BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.5
  5. O. Forster: Riemannsche Flächen, Springer Verlag Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08034-1, Kapitel II, §13