Faktorion

In der Zahlentheorie eine natürliche Zahl n , welche der Summe der Fakultät ihrer Stellen gleicht.

In der Zahlentheorie ist ein Faktorion (englisch Factorion) eine natürliche Zahl , welche der Summe der Fakultäten ihrer Stellen gleich ist.[1][2]

Clifford Pickover, der Namensgeber dieser Zahlen

Mit anderen Worten und etwas allgemeiner (und mathematischer) mit Basis (also nicht nur im Dezimalsystem mit Basis ):

Sei eine natürliche Zahl. Die Summe der Fakultät ihrer Stellen (Digits) sei für eine Basis wie folgt definiert:[3]
wobei die Anzahl der Stellen der Zahl in der Basis angibt. ist die Fakultät von und
ist der Wert der -ten Stelle der Zahl .

Eine natürliche Zahl nennt man -Faktorion, wenn sie zur Basis ein Fixpunkt der Abbildung ist, wenn also gilt.[4]

Der Name Faktorion stammt vom amerikanischen Mathematiker und Autor Clifford A. Pickover.[5]

Beispiele

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  • Sei   im Dezimalsystem (also zur Basis  ). Dann gilt:
 
Somit ist   ein Faktorion zur Basis 10.
  • Sei   im Dezimalsystem (also zur Basis  ). Dann gilt:
 
Somit ist   ein Faktorion zur Basis 10.
  • Es folgt eine Liste aller Faktorionen   im Dezimalsystem:
1, 2, 145, 40585 (Folge A014080 in OEIS)
  • Es ist   im Quinärsystem (also zur Basis  ). Dann gilt:
 
Somit ist   ein Faktorion zur Basis 5.
  • Es ist   im Nonärsystem (also zur Basis  ). Dann gilt:
 
Somit ist   ein Faktorion zur Basis 9.

Eigenschaften

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  • Im Dezimalsystem gibt es nur 4 Faktorionen, nämlich 1, 2, 145 und 40585.[3][6]
  • Die Zahlen   und   sind Fixpunkte der Funktion   für alle Basen   und somit triviale Faktorionen für alle  . Alle anderen Faktorionen sind nichttriviale Faktorionen.
Beweis:
Es ist   und  .
Im Dualsystem, also mit der Basis  , ist   und es gilt:  .  
  • Im Dualsystem (also mit der Basis  ) ist die Summe der Fakultät der Ziffern die Anzahl der Ziffern   selbst.
Beweis:
Es ist  . Weil jede Zahl im Dualsystem nur aus Nullen und Einsen besteht und deren Fakultät ebenfalls immer je Eins ist, erhält man mit der Funktion   die Anzahl der Ziffern von  .  
  • Für jede gegebene Basis   gibt es nur eine endliche Anzahl von Faktorionen.
Beweis:
Man untersuche (zunächst einmal) im Dezimalsystem (also mit Basis  ) den Maximalwert, den   mit einer  -stelligen Dezimalzahl   erreichen kann. Eine  -stellige Dezimalzahl   mit maximal großen Ziffern besteht aus   9ern. Somit muss für die Funktion   gelten:  .
Betrachtet man nun eine allgemeine  -stellige Dezimalzahl   und die soeben betrachtete Ungleichung  , die für alle  -stelligen Dezimalzahlen gilt. Es gibt nur dann Faktorionen, solange   gilt. Es ist aber sicherlich  . Somit erhält man die Ungleichung  .
Wenn nun aber die Anzahl der Stellen   ist, müsste laut der obigen Ungleichung noch immer   gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn   und somit   ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass   sein soll. Die Bedingung   stimmt also für   nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Dezimalsystem geben, die 10 oder mehr Stellen haben.
Verallgemeinert man obige Überlegungen auf allgemeine Basen  , so erhält man die Ungleichung   und wegen   (für  ) gilt weiters  . Wenn nun auch hier die Anzahl der Stellen   ist, müsste laut dieser Ungleichung noch immer   gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn   und somit   ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass   sein soll. Die Bedingung   stimmt also für   nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Zahlensystem mit Basis   geben, die   oder mehr Stellen haben. Die Anzahl der Faktorionen ist also nach oben hin begrenzt, es gibt somit nur endlich viele Faktorionen, was zu zeigen war.  
  • Für alle Basen   zusammengenommen gibt es unendlich viele Faktorionen.
Beweis:
Es gibt Faktorionen-Gruppen, ohne auf die spezielle Basis   eingehen zu müssen. Diese Gruppen bestehen aus unendlich vielen Faktorionen. Siehe weiter unten.  

Gesellige und befreundete Faktorionen

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Eine natürliche Zahl   nennt man geselliges Faktorion, wenn man nach  -facher Anwendung von   auf diese Zahl wieder genau diese Zahl erhält.   ist dann ein periodischer Punkt und   formt eine periodische Folge (oder Zykel) der Periodenlänge  . Ist die Periodenlänge  , so nennt man das gesellige Faktorion auch befreundetes Faktorion. Ist also   ein befreundetes Faktorion-Paar, so ist   und  .[3]

Beispiele

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  • Sei die Basis  , also das Dezimalsystem.
Die Summe der Fakultäten der Ziffern von   ist  .
Die Summe der Fakultäten der Ziffern von   ist  .
Somit ist   und  . Es ist also   ein periodischer Punkt,   formt eine periodische Folge der Periodenlänge  . Somit ist   ein befreundetes Faktorion-Paar zur Basis  .
  • Es folgt eine Liste aller befreundeten Faktorion-Paare   im Dezimalsystem:
(871, 45361), (872, 45362) (Folge A214285 in OEIS)
  • Sei die Basis  , also das Dezimalsystem.
Es ist  .
Es ist  .
Es ist  .
Somit ist  . Es ist also   ein periodischer Punkt,   formt eine periodische Folge der Periodenlänge  . Somit ist   ein geselliges Faktorion-Tripel zur Basis  .[3]
  • Es folgt eine Tabelle, der man alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis   ablesen kann:

Eigenschaften

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  • Ein Faktorion ist ein geselliges Faktorion mit Periodenlänge  .
  • Es gibt nur zwei befreundete Faktorion-Paare im Dezimalsystem, nämlich   und  .[3][7]
  • Für jede gegebene Basis   gibt es nur eine endliche Anzahl von Zyklen.

Ermitteln von Gruppen von Faktorionen

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Man kann gewisse Gruppen von Faktorionen ermitteln, ohne auf die spezielle Basis   eingehen zu müssen.

  • Sei   eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis  . Dann gilt:
  •   ist ein Faktorion zur Basis   für alle   (in Dezimalschreibweise geschrieben).
  •   ist ein Faktorion zur Basis   für alle   (in Dezimalschreibweise geschrieben).
Beweis der 1. Behauptung:
Es ist  .
Weiters ist   die Darstellung von   zur Basis  . Es sei also   die Zehnerstelle und   die Einerstelle von  . Es gilt:
 
Somit ist   ein Faktorion für alle   zur Basis b.
Für   gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis   wäre und   in diesem Zahlensystem die Form   hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer   gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit   und  .  
Beweis der 2. Behauptung:
Es ist  .
Weiters ist   die Darstellung von   zur Basis  . Es sei also   die Zehnerstelle und   die Einerstelle von  . Es gilt:
 
Somit ist   ein Faktorion für alle   zur Basis b.
Für   gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis   wäre und   in diesem Zahlensystem die Form   hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem diese Ziffern gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit   und  .  
Beispiel:
  Basis
 
Faktorion
   
4 6    
5 24    
6 120    
7 720    
8 5040    
  • Sei   eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis  . Dann gilt:
  •   ist ein Faktorion zur Basis   für alle   (in Dezimalschreibweise geschrieben)
Beweis:
Es ist  .
Weiters ist   die Darstellung von   zur Basis  . Es sei also   die Zehnerstelle und   die Einerstelle von  . Dann ist   und es gilt:
 
Für   gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis   wäre und   in diesem Zahlensystem die Form   hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer   gar nicht gibt.
Somit ist   ein Faktorion für alle   zur Basis b.  
Beispiel:
  Basis
 
Faktorion
 
3 4  
4 21  
5 116  
6 715  
7 5034  

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Martin Gardner: Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind. Factorial Oddities. Hrsg.: Vintage Books. 1978, ISBN 978-0-394-72623-6, S. 61, 64 ([1] auf books.google.at).
  2. Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations. Hrsg.: Dover Publications. 1979, ISBN 978-0-394-40822-4, S. 167 ([2] auf books.google.at).
  3. a b c d e Shyam Sunder Gupta: Sum of the factorials of the digits of integers. The Mathematical Gazette 88 (512), Juli 2004, S. 258–261, abgerufen am 16. April 2022.
  4. Steve Abbott: SFD chains and factorion cycles. The Mathematical Gazette 88 (512), Juli 2004, S. 261–263, abgerufen am 16. April 2022.
  5. Clifford A. Pickover: Keys To Infinity. The Loneliness of the Factorions. Hrsg.: John Wiley & Sons. 1995, ISBN 978-0-471-11857-2, S. 169–171, 319–320 ([3] auf scribd.com).
  6. Comments zur Folge A014080 in OEIS
  7. Comments zur Folge A214285 in OEIS