Eine EWMA-Karte (von engl. exponentially weighted moving average) ist eine Prozessregelkarte zur Darstellung von exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerten.

Verwendung

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EWMA-Karten eignen sich zur Überwachung von Prozessen, hinsichtlich ihrer zeitlichen Qualitätskonstanz, durch die Auswertung von Prüfdaten.[1] Sie dienen der Statistische Prozesslenkung zur Optimierung von Produktions- und Serviceprozessen. Mit ihnen lassen sich geringe Verschiebungen des Prozessmittels (Trends) erkennen, die sich durch das geringere Gewichten zeitlich älterer Stichproben hervortun.[2] Dabei werden alle jemals angesammelten Daten des überwachten Geschäfts oder des industriellen Prozesses verwendet. Während andere Regelkarten rationale Untergruppen von Proben einzeln behandeln, verfolgt das EWMA-Diagramm den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt aller vorherigen Abtastmittel. Sie eignet sich besonders für kleine Stichprobenumfänge und den Stichprobenumfang n = 1, da sie auch kleine Veränderungen zu erkennen mag, da die exponentielle Gewichtung der Mittelwerte zu engeren Regelgrenzen führt als bei der gewöhnlichen Mittelwertkarte.

Diagramm

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Ein Diagrammpunkt kann entweder für Einzelbeobachtungen oder auf Teilgruppen stehen, wobei der Wert der Teilgruppe aus dem Mittelwert der zur Teilgruppe gehörenden Einzelwerte errechnet wird.[1] Für die Errechnung der einzelnen Punkte werden Informationen der vorangegangenen Punkte hinzugezogen und anschließend von dem Benutzer gewichtet. Vorteilhaft ist dabei, dass das Ergebnis durch in die Berechnung eingehende hohe oder niedrige Werte nur geringfügig beeinflusst wird. Es können fast alle Trends durch Änderung der Gewichtung ermittelt werden, im Allgemeinen werden kleinere Gewichtungen angegeben, um kleinere Trends zu erkennen.[1] Eine exponentiell gewichtete Bewegungsvarianz kann verwendet werden, um eine Signifikanzbewertung oder -grenzen zu erhalten, die sich automatisch an die beobachteten Daten anpassen.

Berechnung

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Bei der Berechnung geht man von einer Zeitreihe   aus. Das Ziel ist es, im Zeitpunkt   den Wert   durch einen Wert   zu prognostizieren. Für diese Prognose verwendet man den im Zeitpunkt   beobachteten Wert   und den im Zeitpunkt   erstellten Prognosewert  . Um   zu prognostizieren, korrigiert man die Prognose   um den Prognosefehler  :

 

Man erkennt, dass   durch   herausfindbar ist. Vorangegangene Rechnungen zeigen, dass man bei der Korrektur nur einen Teil λ·(xt − ẍt) des Prognosefehlers berücksichtigen sollte. Dies führt zu folgender Prognose:

 

Verwendet man den Ausdruck in der vorherigen Gleichung zur Prognose, so spricht man von exponentieller Glättung 1. Ordnung. Man kann den Ausdruck auch noch folgendermaßen Umformen:

 

Wir errechnen   also durch eine konvexe Linearkombination aus   und  . Dabei ist   das Gewicht der aktuellen Beobachtung  . Die EWMA-Karte basiert auf der exponentiellen Glättung erster Ordnung. Ausgehend von einem Startwert   wird in jedem Zeitpunkt   mit Hilfe der exponentiellen Glättung erster Ordnung ein Schätzwert von   bestimmt. Diesen bezeichnet man mit  . Wir ersetzen in Gleichung   also   durch   und   durch   und erhalten folgende Gleichung

 

Dabei gilt  . In der Regel setzt man  .

Es gilt:

 

Um die Qualitätsregelkarte aufstellen zu können, benötigen wir den Erwartungswert   und die Varianz  . Die Grenzen der EWMA-Karte berechnet man dann durch

obere Grenze =  

untere Grenze =  

Ist der Prozess unter Kontrolle, so gilt   für alle  . Hieraus folgt

 

Wenn man davon ausgeht, dass die   unabhängig mit identischer Varianz   sind, dann gilt

 

Die Grenzen der EWMA-Karte sind also

obere Grenze =  

Mittellinie =  

untere Grenze =  

Man sieht, dass die Grenzen der EWMA-Karte mit wachsendem   immer stabiler werden. Aus   folgt

 

Also gilt:

 

Die approximativen Grenzen der EWMA-Karte sind also

LCL =  

CL =  

UCL =  

[3]

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Literatur

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  • Norbert Vetter: Sensitivitätsvergleich von Qualitätsregelkarten des CUSUM- und EWMA-Typs. diplom.de, 1999, ISBN 978-3-832-41744-4, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  • Jens Hitzinger: Qualitätsregelkarten zur Überwachung der Fertigungslage mit Kurz- und Langzeitgedächtnis. diplom.de, 2001, ISBN 978-3-832-43350-5, S. 27 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  • Deutsche Gesellschaft für Qualität e. V. (DGQ): SPC 2 – Qualitätsregelkartentechnik, ausgearbeitet von der Arbeitsgruppe 162 „Qualitätsregelkarten“ der Deutschen Gesellschaft für Qualität. 4. Aufl., Beuth, Berlin, Köln 1992, ISBN 3-410-32827-0.
  • K. Bernecker. Dt. Ges. für Qualität e. V. (DGQ): SPC 3 – Anleitung zur statistischen Prozeßlenkung (SPC): Qualitätsregelkarten, Prozessfähigkeitsbeurteilungen (Cp, Cpk), Fehlersammelkarte. 1. Aufl., Beuth, Berlin 1990, ISBN 3-410-32821-1.

Einzelnachweise

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  1. a b c Was ist eine EWMA-Karte? In: support.minitab.com. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 30. Dezember 2016; abgerufen am 30. Dezember 2016.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/support.minitab.com
  2. Exponentiell gewichtete Mittelwertkarte (EWMA). Abgerufen am 23. Januar 2017.
  3. Peter Hackl: Prozeßkontrolle: Weitere Verfahren, EWMA-Karte. 7. Mai 2001, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 30. Dezember 2016; abgerufen am 23. Januar 2017.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/statmath.wu-wien.ac.at