Drehspiegelgruppe

Symmetriegruppe

Die Drehspiegelgruppe ist die von der Drehspiegelung zum Drehwinkel erzeugte Symmetriegruppe.

Antiprisma mit der Symmetriegruppe

Wird als Grundoperation statt der Drehspiegelung die Drehinversion genommen, wird also die Drehung nicht mit einer Ebenenspiegelung verkettet, sondern mit einer Inversion an einem Punkt auf der Drehachse, so entsteht die Gruppe ; die an sich naheliegende Bezeichnung Drehinversionsgruppe ist ungebräuchlich.[1]

Die Gruppen dieser beiden Typen stimmen bis auf die Nummerierung miteinander überein.

Drehspiegelgruppen treten bei der Beschreibung der Symmetrie von Kristallen oder einzelnen Molekülen auf.

Notation

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Für die Drehspiegelgruppen   gibt es zwei Bezeichnungssysteme:

      ( )   ( )   (  ungerade)
Hermann-Mauguin          
Schoenflies          
Bemerkung Ebenenspiegelung Punktspiegelung

Dabei steht

  • „m“ für „mirror plane“
  • „s“ für „Spiegelebene“
  • „i“ für „Inversion“
  •  “ für eine n-zählige Drehsymmetrie („C“ für „cyclisch“); siehe hierzu den Abschnitt „Eigenschaften“
  • „h“ für „horizontale Spiegelebene“ (bei vertikal gedachter Drehachse).

Beispiele

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Ein Punkt in der Position 0 wird durch n-fache Anwendung der Grundoperation   (Drehspiegelung bzw. Drehinversion) nacheinander in die Positionen 1, 2, … und schließlich wieder in die Ausgangsposition 0 überführt. Die untenstehenden Abbildungen zeigen diese Anwendung der Gruppenelemente   (mit k = 0 ... n-1) auf den Punkt 0 für einige Werte von  .

n          
Drehwinkel            
Drehspiegelung
 
Skizze
 
 
 
 
 
Hermann-Mauguin
-Symbol
         
Schoenflies
-Symbol
         
Drehinversion
 
Skizze
 
 
 
 
 
Hermann-Mauguin
-Symbol
         

Ein Körper mit einer  - oder  -Symmetrie, der den Punkt 0 enthält, muss auch die zu diesem symmetrischen Punkte 1, 2, … enthalten. Ein Beispiel ist das oben gezeigte Antiprisma, bei dem die 4-zählige Drehspiegelachse senkrecht auf den beiden Deckflächen steht, wobei diese hier unterschiedlich orientiert sind. Bei gleicher Orientierung wäre der Körper nicht mehr drehspiegel- dafür aber weiterhin drehsymmetrisch, und zwar um nun drei 2-zählige Achsen (senkrecht zu den Deckflächen sowie parallel zu deren Winkelhalbierenden). Bei nicht orientierten Deckflächen würden beide Symmetrien gleichzeitig auftreten.

Eigenschaften

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Die Drehspiegelgruppe   ist zyklisch mit der Ordnung   (für ungerades  ) oder   (für gerades  ).[5] Sie ist damit insbesondere kommutativ.

  enthält die Spiegelung genau dann, wenn   ungerade ist, und die Inversion genau dann, wenn   gerade, aber nicht durch 4 teilbar ist.[5]

  hat als Untergruppen nur Drehgruppen und Drehspiegelgruppen, und zwar ist

  • die Drehgruppe   Untergruppe genau dann, wenn   Teiler von   (für ungerades  ) bzw. von   (für gerades  ) ist;[5]
  • die Drehspiegelgruppe   Untergruppe genau dann, wenn   ungerade ist.

Zwischen den   und den Drehspiegelgruppen besteht die Beziehung[4]

 
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Einzelnachweise

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  1. Es gibt nur zwei Suchtreffer für „Drehinversionsgruppe“ bei Google Books. In einem der beiden (Konrad Altmann: Grundlagen der Theorie der Infrarot-, Raman- und Hyper-Ramanspektren molekularer Gase, dargestellt unter Benutzung irreduzibler sphärischer Tensoren. Universität München, 1976) heißt es: „Eigentlich besser Drehinversionsgruppe. Dieser Ausdruck ist jedoch in der deutschsprachigen Literatur nicht gebräuchlich.“.
  2. Bill Trogler: Molecular Symmetry. (PDF; 3,8 MB) (Kapitel der Lecture Notes zur Vorlesung UCSD Chem 224: Group Theory and Spectroscopy). University of California, San Diego, 2012, S. 11–12, abgerufen am 2. Mai 2018.
  3. Walter Borchardt-Ott: Crystallography. 2. Auflage. Springer, 1995, ISBN 3-540-59478-7.
  4. a b Daniel Arovas: Crystal Math. (PDF; 9,6 MB) (Kapitel 5 der Lecture Notes zur Vorlesung UCSD Physics 220: Group Theory). University of California, San Diego, 2016, abgerufen am 1. Mai 2018.
  5. a b c Arthur Schoenflies: Krystallsysteme und Krystallstruktur. Teubner, 1891, S. 81 (Scan [PDF; 16,7 MB]).