Diskussion:Nilpotente Matrix

Letzter Kommentar: vor 1 Jahr von Ankh-Morpork in Abschnitt Äquivalente Definitionen

Eigenwert

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Zu diesem Absatz: Wenn eine Matrix   nilpotent ist, wobei n die kleinste natürliche Zahl mit   ist, dann...

  • ist jeder Eigenwert selbst nilpotent: Aus   folgt  , und wegen   ist  . Für Matrizen über den reellen oder komplexen Zahlen folgt daraus, dass die Matrix nur den Eigenwert 0 haben kann.

Folgt aus der Form des char. Polynoms nicht sowieso, dass A (über jedem Körper) nur genau den Eigenwert 0 hat?!? -- Fabi0001 19:43, 13. Jul. 2007 (CEST)Beantworten


Hab's jetzt mal entsprechend geändert. Fabi0001 12:21, 24. Aug. 2007 (CEST)Beantworten


Die Invertierbarkeit von E-A könnte als Eigenschaft etwas besser erklärt werden. Ich finde das so sehr schwer nachvollziehbar. 80.141.210.98 14:55, 16. Jul. 2011 (CEST)Beantworten

Charakteristisches Polynom der Nilpotenten Matrix?

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Muss das charakteristische Polynom einer Nilpotenten Matrix nicht (-λ)^n sein? So wie es dasteht ist es auf jeden Fall falsch, man betrachte die 3x3-Nullmatrix.

Mein Fehler, das charakteristische polynom ist hier andersherum definiert. Wir hatten es als det(A-λE) definiert. Wo genau liegen da die Unterschiede (Abgesehen von den Vorzeichen?

mfg --StudMathBenni (Diskussion) 22:26, 21. Mai 2012 (CEST)Beantworten

Ich denke, das wird manchmal so und manchmal anders herum definiert ohne tiefere Hintergedanken. Die Definition det(λE-A) hat den Vorteil, dass das Polynom immer normiert ist, also mit λ^n+... beginnt. -- HilberTraum (Diskussion) 22:35, 21. Mai 2012 (CEST)Beantworten

Invertierbarkeit

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"... ist nicht invertierbar, da alle ihrer Eigenwerte Null sind."

Wie folgt diese Erkenntnis denn direkt daraus, dass die Eigenwerte null sind? Wäre die bessere Begründung nicht, dass die Determinante null ist? (nicht signierter Beitrag von 130.75.157.208 (Diskussion) 15:33, 24. Jun. 2015 (CEST))Beantworten

Der Kern ist Eigenraum zum Eigenwert 0. Kommt 0 unter den Eigenwerten tatsächlich vor, dann ist der zuhehörige Eigenraum -- also der Kern -- nichttrivial und die Matrix also nicht invertierbar.

Äquivalente Definitionen

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Punkt 2: Es gibt ein   mit   und  . Dann ist   nilpotent mit dem Nilpotenzgrad  .

Laut dieser Defintion wäre aber die Nullmatrix nicht nilpotent, da es dort kein solches   gibt ... was übersehe ich da?

(bzw. man könnte darüber streiten, ob   gilt und somit auch die Nullmatrix die Definition mit dem Nilpotenzgrad   erfüllt.)

--Ankh-Morpork (Diskussion) 19:19, 29. Mär. 2023 (CEST)Beantworten