Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe

Theorie der Quantenmechanik

In der Physik wird die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe zur Beschreibung von Elementarteilchen in der relativistischen Quantenmechanik sowie zur Beschreibung von Feldern in der Quantenfeldtheorie benötigt.

Lorentz-Gruppe

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Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe der die Minkowski-Metrik   invariant lassenden linearen Abbildungen der Raum-Zeit  , also

 .

Sie hat vier Zusammenhangskomponenten. Die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements heißt  . Diese Komponente wird von   zweifach überlagert.

Insbesondere ist ihre Lie-Algebra   isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C).

Endlich-dimensionale Darstellungen

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Darstellungen der Lie-Algebra

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Die Darstellungstheorie der sl(2,C) zeigt, dass jede  -lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von   eine sogenannte Spin- -Darstellung für ein   ist. Diese Darstellung ist  -dimensional und es gibt für jeden ganz- oder halbzahligen Wert von   eine bis auf Isomorphismus eindeutige irreduzible Darstellung  .

Es folgt dann, dass jede  -lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von   von der Form   mit ganz- oder halbzahligen Werten   ist. Hierbei ist das Tensorprodukt zweier Lie-Algebra-Darstellungen definiert durch

 

und   bezeichnet die zu   komplex konjugierte Darstellung. (Die entsprechende Lie-Gruppen-Darstellung ist das Tensorprodukt der ersten Lie-Gruppen-Darstellung mit dem komplex konjugierten der zweiten.)

Die Darstellung   ist  -dimensional und irreduzibel.[1]

Projektive Darstellungen

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Jede Lie-Algebren-Darstellung   bestimmt (nach dem Zweiten Lie’schen Satz) eine (reelle) Darstellung von   und damit eine projektive Darstellung   von  .

Falls   ist, kann   zu einer projektiven Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe   fortgesetzt werden.

Dies ist nicht möglich für  , aber jedenfalls kann dann noch   zu einer irreduziblen projektiven Darstellung von   fortgesetzt werden.

Darstellungen

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  ist eine zweifache Überlagerung von  , wobei   und   auf das neutrale Element   abgebildet werden. Eine Darstellung von   entspricht also genau dann einer Darstellung (und nicht nur einer projektiven Darstellung) von  , wenn auch   auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Man prüft leicht nach, dass das für die Darstellungen   genau dann der Fall ist, wenn   und   ganze Zahlen sind.

Wenn  , dann erhält man eine Darstellung der vollen Lorentz-Gruppe  .

Beispiele

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Im Folgenden bezeichne   die  -projektive Darstellung   von  .

  • (0, 0) ist die in relativistischen Skalarfeld-Theorien verwendete skalare Lorentz-Darstellung.
  •   ist die projektive Darstellung der linkshändigen Weyl-Spinoren,   die der rechtshändige Weyl-Spinoren. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe  .
  •   ist die Bispinor-Darstellung.
  •   ist die Vierervektor-Darstellung. Der Viererimpuls eines Teilchens transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
  •   ist die projektive Darstellung im Raum der selbstdualen 2-Formen und   die projektive Darstellung im Raum der anti-selbstdualen 2-Formen. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe  .
  • (1, 0) ⊕ (0, 1) ist die Darstellung eines Paritäts-invarianten Feldes von 2-Formen (d. h. von Krümmungsformen). Das elektromagnetische Tensorfeld transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
  •   entspricht dem Rarita–Schwinger-Feld.
  • (1, 1) ist die Spin-2-Darstellung eines spurlosen symmetrischen Tensorfelds.

Literatur

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  • Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
  • Sigurður Helgason: Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions. (= Mathematical Surveys and Monographs. 83). Corrected reprint of the 1984 original. American Mathematical Society, Providence, RI 2000, ISBN 0-8218-2673-5.
  • Anthony W. Knapp: Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples. (= Princeton Landmarks in Mathematics). Reprint of the 1986 original. Princeton University Press, Princeton, NJ 2001, ISBN 0-691-09089-0.
  • E. R. Paërl: Representations of the Lorentz group and projective geometry. (= Mathematical Centre Tracts. No. 25). Mathematisch Centrum, Amsterdam 1969.
  • W. Rühl: The Lorentz group and harmonic analysis. W. A. Benjamin, New York 1970, OCLC 797189612.
  • Steven Weinberg: The quantum theory of fields. Vol. I: Foundations. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-55001-7.

Einzelnachweise

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  1. Knapp, op.cit., Chapter II.3